Анализ сложения большого множества чисел, близких по величине

Материал из MachineLearning.

Содержание

1 Введение
- 1.1 Постановка математической задачи
  - 1.1.1 Искажение значений при вводе.
  - 1.1.2 Погрешности задания данных.
- 1.2 Виды погрешностей
2 Арифметические операции
3 Числовой пример
4 Заключение
5 Список литературы

Введение

Постановка математической задачи

Пусть имеется множество чисел, близких по величине.Каждому числу вещественному числу $x$ в компьютере ставится в соответствие его приближение $\tilde x$ . Различие $\tilde x$ и $x$ может быть обусловленно несколькими причинами:

Искажение значений при вводе.

Автоматическое преобразование из внешнего, десятичного представления, во внутренний, двоичный формат, производится при вводе дробных значений. Только целое значение может быть преобразовано в двоичное представление точно. Дробное число в общем случае может быть преобразовано во внутренний формат лишь приближенно.

Погрешности задания данных.

Данные могут быть предоставлены неточно по многим внешним причинам.

Виды погрешностей

Различают два вида погрешностей: абсолютные и относительные погрешности.
Абсолютная погрешность определяется формулой

$\Delta(\tilde x)=|\tilde x-x|,$

где $\tilde x$ – приближение точного значения $x$ .
Относительная погрешность определяется формулой

$\delta(\tilde x)=\frac{|\tilde x-x|}{x}.$

Арифметические операции

Будем рассматривать сложение чисел,близких по величине.Пусть имеется два числа $a$ и $b$ . В компьютере они представлены в виде чисел с плвавающей точкой $\tilde a$ и $\tilde b$ соответственно. Как известно при сложении абсолютные погрешости складываются так что $\Delta(\tilde S)=|\tilde S-S|= \Delta(\tilde a)+\Delta(\tilde b)$ Также существует ошибка арифметический операций,ее мы учитывать не будем (эту ошибку легко учесть, прибавив ошибку округления соответствующей операции к вычисленной ошибке).
Если x и y - положительные нормализованные числа с плавающей точкой в двоичном представлении, $x>y$ и $2^{-q} \le 1-\frac{y}{x}\le2^{-p}$ Тогда при вычислении разности $x-y$ теряется от $p$ до $q$ значащих цифр.
Так как для двоичного представления чисел выполнено $\delta(\tilde x)\le2^{-n}$ , то это означает что относительная ошибка может существенно возрасти.
Следовательно рекомендуется избегать сложения чисел близких по величине, но различных по знаку.
Следствием погрешности представления вещественных чисел и округлений является утеря некоторых свойств арифметических операций. При переходе к машинной арифметике сохраняются коммутативность сложения . Ассоциативность этой операции нарушается.