Анализ сложения большого множества чисел, близких по величине

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Введение

Постановка математической задачи

Пусть имеется множество чисел, близких по величине.Каждому числу вещественному числу x в компьютере ставится в соответствие его приближение \tilde x. Различие \tilde x и x может быть обусловленно несколькими причинами:

Искажение значений при вводе.

Автоматическое преобразование из внешнего, десятичного представления, во внутренний, двоичный формат, производится при вводе дробных значений. Только целое значение может быть преобразовано в двоичное представление точно. Дробное число в общем случае может быть преобразовано во внутренний формат лишь приближенно.

Погрешности задания данных.

Данные могут быть предоставлены неточно по многим внешним причинам.

Виды погрешностей

Различают два вида погрешностей: абсолютные и относительные погрешности.
Абсолютная погрешность определяется формулой

\Delta(\tilde x)=|\tilde x-x|,

где \tilde x – приближение точного значения x.
Относительная погрешность определяется формулой

\delta(\tilde x)=\frac{|\tilde x-x|}{x}.

Арифметические операции

Будем рассматривать сложение чисел,близких по величине.Пусть имеется два числа a и b. В компьютере они представлены в виде чисел с плвавающей точкой \tilde a и \tilde b соответственно. Как известно при сложении абсолютные погрешости складываются так что \Delta(\tilde S)=|\tilde S-S|= \Delta(\tilde a)+\Delta(\tilde b) Также существует ошибка арифметический операций,ее мы учитывать не будем (эту ошибку легко учесть, прибавив ошибку округления соответствующей операции к вычисленной ошибке).
Если x и y - положительные нормализованные числа с плавающей точкой в двоичном представлении, x>y и 2^{-q} \le 1-\frac{y}{x}\le2^{-p} Тогда при вычислении разности x-y теряется от p до q значащих цифр.
Так как для двоичного представления чисел выполнено \delta(\tilde x)\le2^{-n}, то это означает что относительная ошибка может существенно возрасти.
Следовательно рекомендуется избегать сложения чисел близких по величине, но различных по знаку.
Следствием погрешности представления вещественных чисел и округлений является утеря некоторых свойств арифметических операций. При переходе к машинной арифметике сохраняются коммутативность сложения . Ассоциативность этой операции нарушается.

Числовой пример

Заключение

Список литературы

Личные инструменты