Квантиль

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
м (дополнение: Квинтиль)
(про выборочные квантили)
Строка 34: Строка 34:
''Медиана'' <tex>x_{1/2}.</tex>
''Медиана'' <tex>x_{1/2}.</tex>
 +
== Выборочная квантиль ==
 +
 +
Пусть задана [[простая выборка]] <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m)</tex>, и её [[вариационный ряд]] есть
 +
::<tex>x^{(1)} \leq x^{(2)} \leq \cdots \leq x^{(m)}.</tex>
 +
 +
'''Выборочная <tex>\alpha</tex>-кванти́ль''' при <tex>0 < \alpha < 1</tex> есть
 +
элемент вариационного ряда с номером <tex>[m\alpha+1]</tex>
 +
(целая часть от <tex>m\alpha+1</tex>).
 +
 +
Пусть <tex>f</tex> — плотность, <tex>F</tex> — функция распределения случайной величины <tex>x</tex>.
 +
Тогда выборочные квантили
 +
<tex>0 < \alpha_1 \leq \cdots \leq \alpha_k < 1</tex>
 +
имеют при
 +
<tex>m \to \infty</tex>
 +
асимптотически ''k''-мерное нормальное распределение с математическими ожиданиями, равными (не выборочным) квантилям
 +
<tex>x_{\alpha_i},\; i=1,\ldots,k</tex>
 +
и ковариациями
 +
::<tex>\frac{\alpha_i(1-\alpha_j)}{m f\left(x_{\alpha_i}\right) f\left(x_{\alpha_j}\right) },\;\; i\leq j,\;\; i,j= 1,\ldots,k.</tex>
 +
 +
Таким образом, выборочные квантили являются несмещёнными оценками обычных (не выборочных) квантилей.
 +
== Литература ==
== Литература ==
# Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Под ред. Ю.В.Прохорова. — М.: Большая российская энциклопедия, 2003. — 912 с.
# Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Под ред. Ю.В.Прохорова. — М.: Большая российская энциклопедия, 2003. — 912 с.

Версия 13:15, 14 августа 2008

Содержание

\alpha-кванти́ль (или квантиль порядка \alpha) — числовая характеристика случайной величины; такое число, что данная случайная величина превышает его с вероятностью \alpha.

Определение

\alpha-кванти́ль случайной величины \xi с функцией распределения F(x) = \mathbb{P} \{ \xi < x \} — это число x_\alpha, удовлетворяющее двум условиям:

1) F(x_\alpha) \leq \alpha;
2) F(x_\alpha+0) \geq \alpha.

Если F(x) — непрерывная строго монотонная функция, то существует единственная кванитль x_\alpha любого порядка \alpha \in (0,\,1), которая однозначно определяется из уравнения F(x_\alpha) = \alpha, следовательно, выражается через функцию, обратную к функции распределения:

x_\alpha = F^{-1}(\alpha).

При построении доверительного интервала для случайной величины \xi используется равенство

\mathbb{P}\left\{ x_{(1-\alpha)/2} \le \xi \le x_{(1+\alpha)/2} \right\} = \alpha.

Величины, связанные с квантилями

Проценти́ль x_{p/100}, \; p=1,\ldots,99.

Дециль x_{p/10}, \; p=1,\ldots,9.

Квинтиль x_{p/5}, \; p=1,2,3,4.

Квартиль x_{p/4}, \; p=1,2,3.

Медиана x_{1/2}.

Выборочная квантиль

Пусть задана простая выборка x^m = (x_1,\ldots,x_m), и её вариационный ряд есть

x^{(1)} \leq x^{(2)} \leq \cdots \leq x^{(m)}.

Выборочная \alpha-кванти́ль при 0 < \alpha < 1 есть элемент вариационного ряда с номером [m\alpha+1] (целая часть от m\alpha+1).

Пусть f — плотность, F — функция распределения случайной величины x. Тогда выборочные квантили 0 < \alpha_1 \leq \cdots \leq \alpha_k < 1 имеют при m \to \infty асимптотически k-мерное нормальное распределение с математическими ожиданиями, равными (не выборочным) квантилям x_{\alpha_i},\; i=1,\ldots,k и ковариациями

\frac{\alpha_i(1-\alpha_j)}{m f\left(x_{\alpha_i}\right) f\left(x_{\alpha_j}\right) },\;\; i\leq j,\;\; i,j= 1,\ldots,k.

Таким образом, выборочные квантили являются несмещёнными оценками обычных (не выборочных) квантилей.

Литература

  1. Вероятность и математическая статистика: Энциклопедия / Под ред. Ю.В.Прохорова. — М.: Большая российская энциклопедия, 2003. — 912 с.

Ссылки

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%B8%D0%BB%D1%8C»
Личные инструменты