Критерий Ван дер Вардена

Материал из MachineLearning.

(Перенаправлено с Критерий Ван-дер-Вардена)
Перейти к: навигация, поиск

Критерий Ван дер Вардена(Van der Waerden criteria)непараметрический статистический критерий, используемый для оценки различий между двумя выборками по признаку, измеренному в количественной или порядковой шкале. Критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения. Существует обобщение критерия Ван дер Вардена для выявления различий между несколькими выборками.

Содержание

Примеры задач

Пример 1. Первая выборка — это пациенты, которых лечили препаратом А. Вторая выборка — пациенты, которых лечили препаратом Б. Значения в выборках — это некоторая характеристика эффективности лечения (уровень метаболита в крови, температура через три дня после начала лечения, срок выздоровления, число койко-дней, и т.д.) Требуется выяснить, имеется ли значимое различие эффективности препаратов А и Б, или различия являются чисто случайными и объясняются «естественной» дисперсией выбранной характеристики.

Пример 2. Первая выборка — это поля, обработанные агротехническим методом А. Вторая выборка — поля, обработанные агротехническим методом Б. Значения в выборках — это урожайность. Требуется выяснить, является ли один из методов эффективнее другого, или различия урожайности обусловлены случайными факторами.

Пример 3.(использование многовыборочного критерия Ван дер Вардена) Нужно проверить, как лекарство помогает в снятии соответствующего симптома. Взяты несколько групп пациентов, и каждой из них назначается определенная доза препарата. Гипотеза состоит в том, что по мере увеличения уровня дозы больные чувствуют себя лучше.

Описание критерия

Заданы две выборки x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}.

Дополнительные предположения:

  • обе выборки простые, объединённая выборка независима;
  • выборки взяты из неизвестных непрерывных распределений F(x) и G(y) соответственно.

Нулевая гипотеза H_0:\; F(x) = G(y).

Статистика критерия:

  1. Построить общий вариационный ряд объединённой выборки z^{(1)} \leq \cdots \leq z^{(m+n)} и найти ранги r(x_i) элементов первой выборки в общем вариационном ряду.
  2. Статистика критерия Ван дер Вардена вычисляется по формуле:

X = \sum_{i = 1}^n u( \frac{r(x_i)}{ m + n + 1} ), где u( \frac{r(x_i)}{ m + n + 1} )квантиль уровня \frac{r(x_i)}{ m + n + 1} стандартного нормального распределения

Критерий (при уровне значимости \alpha):

  • двусторонний критерий — против альтернативы H_1:\; \mathbb{P} \{ x<y \} \neq 1/2
если  X \notin \left[ X_{\alpha/2},\, X_{1-\alpha/2} \right] , то нулевая гипотеза отвергается;
  • односторонний критерий -- против альтернативы H'_1:\; \mathbb{P} \{ x>y \} > 1/2
если  X_> X_{1-\alpha} , то нулевая гипотеза отвергается;

Здесь  X_{\alpha} -- это \alpha-квантиль табличного распределения статистики Ван дер Вардена с параметрами m,\,n.

Асимптотический критерий

Распределение статистики Ван дер Вардена асимптотически нормально с нулевым матожиданием \mathbb{E}X = 0 и дисперсией

 \mathbb{D}X = \frac{mn}{(m + n)(m + n - 1)} \sum_{i = 1}^{m + n} u^2( \frac{i}{m + n + 1} )

Нормальную аппроксимацию статистики Ван дер Вардена можно использовать при  m, n \ge 20.

В этом случае критерии (при уровне значимости \alpha) будет выглядеть следующим образом:

  • двусторонний критерий  \frac{X}{\mathbb{D}X} \notin \left[ u_{\alpha/2},\, u_{1-\alpha/2} \right] , то нулевая гипотеза отвергается;
  • односторонний критерий -- против альтернативы H'_1:\; \mathbb{P} \{ x>y \} > 1/2
если  \frac{X}{\mathbb{D}X}> u_{1-\alpha} , то нулевая гипотеза отвергается;

Свойства критерия Ван дер Вардена

Если выборки подчиняются нормальному распределению, то критерий Ван дер Вардена асимптотически имеет ту же мощность, что и критерий Стьюдента.

При n + m \to \infty критерий Ван дер Вардена не уступает в эффективности критерию Стьюдента

Многовыборочное обобщение критерия Ван дер Вардена

Заданы k выборок: x_1^{n_1}=\left\{x_{11},\dots,x_{1n_1}\right\}, \dots, x_k^{n_k}=\left\{x_{k1},\dots,x_{kn_k}\right\}. Объединённая выборка: z=x_1^{n_1}\cup x_2^{n_2}\cup \dots \cup x_k^{n_k}.

Дополнительные предположения:

  • все выборки простые, объединённая выборка независима;
  • выборки взяты из неизвестных непрерывных распределений F_1(x),\dots,F_k(x).

Статистика критерия: Все N=\sum_{i=1}^k n_i элементов выборок упорядочиваются по возрастанию, через R_{ij} обозначается ранг j-го элемента i-й выборки в полученном вариационном ряду.

Статистика Ван дер Вардена имеет вид

T = \left(\sum_{i = 1}^N u^2( \frac{i}{N + 1} ) \right)^{-1} (N - 1) \sum_{i = 1}^{k} \frac{1}{n_i} \left( \sum_{j=1}^{n_i}  u^2( \frac{R_{ij}}{N + 1} ) \right)^2

Проверяется нулевая гипотеза H_0:\; F_1(x)=\dots=F_k(x) против альтернативы H_1:\; F_1(x)=F_2(x-\Delta_1)=\dots=F_k(x-\Delta_{k-1}).

Если нулевая гипотеза выполнена, то поведение статистики T хорошо описывается распределением хи-квадарат с k - 1 степенью свободы.

Нулевая гипотеза отвергается при уровне значимости \alpha, если T > \chi^2_{1 - \alpha, k - 1}, где \chi^2_{1 - \alpha, k - 1}квантиль уровня 1 -\alpha распределения xи-квадрат с k - 1 степенью свободы.


История

Критерий был предложен Ван дер Варденом в 1953 году.

Литература

  1. Ван дер Варден Б.Л. Математическая статистика/Пер.с нем. — М.:  Иностранная литература,1960 — 450 c.
  2. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.

См. также

различия между двумя выборками

Ссылки

Van_der_Waerden_test - статья в Википедии о многовыборочном критерии Ван дер Вардена

Данная статья является непроверенным учебным заданием.
Студент: Участник:Slimper
Преподаватель: Участник:Vokov
Срок: 08 января 2010

До указанного срока статья не должна редактироваться другими участниками проекта MachineLearning.ru. По его окончании любой участник вправе исправить данную статью по своему усмотрению и удалить данное предупреждение, выводимое с помощью шаблона {{Задание}}.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.


Личные инструменты