Критерий Стьюдента

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Новая: '''t-Критерий Стьюдента''' — общее название для статистических тестов), в которых...)
м
 
(12 промежуточных версий не показаны.)
Строка 1: Строка 1:
-
'''t-Критерий Стьюдента''' — общее название для [[статистический тест|статистических тестов]]), в которых статистика критерия имеет [[распределение Стьюдента]]. Наиболее часто t-критерии применяются для проверки равенства средних значений в двух нормальных [[выборка]]х.
+
{{TOCright}}
-
Все разновидности критерия Стьюдента являются параметрическими и основаны на дополнительном предположении о нормальности выборки данных. Поэтому перед применением критерия Стьюдента рекомендуется выполнить проверку нормальности.
+
'''t-критерий Стьюдента''' — общее название для [[статистический тест|статистических тестов]], в которых статистика критерия имеет [[распределение Стьюдента]].
 +
Наиболее часто t-критерии применяются для проверки равенства средних значений в двух [[выборка]]х.
 +
[[Нулевая гипотеза]] предполагает, что средние равны (отрицание этого предположения называют [[гипотеза сдвига|гипотезой сдвига]]).
-
== Сравнение выборочного среднего с заданным значением ==
+
Все разновидности критерия Стьюдента являются параметрическими и основаны на дополнительном предположении о нормальности выборки данных.
-
Задана выборка <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m)</tex> наблюдений <tex>x_i \in X</tex>.
+
Поэтому перед применением критерия Стьюдента рекомендуется выполнить [[Критерии нормальности|проверку нормальности]].
 +
Если гипотеза нормальности отвергается, можно проверить другие распределения, если и они не подходят, то следует воспользоваться [[:Категория:Непараметрические статистические тесты|непараметрическими статистическими тестами]].
-
Нулевая гипотеза <tex>H_0</tex>: математическое ожидание равно <tex>\mu</tex>.
+
== Примеры задач ==
-
Статистика критерия:
+
Чаще всего критерий Стьюдента применяется для проверки равенства средних значений в двух выборках.
-
::<tex>t = \frac{(\bar x - \mu)\sqrt(m)}{s_m^2} \sum_{i=1}^m x_i</tex>,
+
 
 +
'''Пример 1.'''
 +
Первая выборка — это пациенты, которых лечили препаратом&nbsp;А.
 +
Вторая выборка — пациенты, которых лечили препаратом&nbsp;Б.
 +
Значения в выборках — это некоторая характеристика эффективности лечения (уровень метаболита в крови, температура через три дня после начала лечения, срок выздоровления, число койко-дней, и т.д.)
 +
Требуется выяснить, имеется ли значимое различие эффективности препаратов&nbsp;А&nbsp;и&nbsp;Б, или различия являются чисто случайными и объясняются «естественной» дисперсией выбранной характеристики.
 +
 
 +
'''Пример 2.'''
 +
Первая выборка — это значения некоторой характеристики состояния пациентов, записанные ''до'' лечения.
 +
Вторая выборка — это значения ''той же'' характеристики состояния ''тех же'' пациентов, записанные ''после'' лечения.
 +
Объёмы обеих выборок обязаны совпадать; более того, порядок элементов (в данном случае пациентов) в выборках также обязан совпадать.
 +
Такие выборки называются ''связными''.
 +
Требуется выяснить, имеется ли значимое отличие в состоянии пациентов до и после лечения, или различия чисто случайны.
 +
 
 +
'''Пример 3.'''
 +
Первая выборка — это поля, обработанные агротехническим методом&nbsp;А.
 +
Вторая выборка — поля, обработанные агротехническим методом&nbsp;Б.
 +
Значения в выборках — это урожайность.
 +
Требуется выяснить, является ли один из методов эффективнее другого, или различия урожайности обусловлены случайными факторами.
 +
 
 +
'''Пример 4.'''
 +
Первая выборка — это дни, когда в супермаркете проходила промо-акция типа&nbsp;А (красные ценники со скидкой).
 +
Вторая выборка — дни промо-акции типа&nbsp;Б (каждая пятая пачка бесплатно).
 +
Значения в выборках — это показатель эффективности промо-акции (объём продаж, либо выручка в рублях).
 +
Требуется выяснить, какой из типов промо-акции более эффективен.
 +
 
 +
== Варианты применения ==
 +
 
 +
=== Сравнение выборочного среднего с заданным значением ===
 +
 
 +
Задана выборка <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R}</tex>.
 +
 
 +
'''Дополнительное предположение:'''
 +
выборка [[простая выборка|простая]] и [[Нормальное распределение|нормальная]].
 +
 
 +
'''Нулевая гипотеза''' <tex>H_0:\; \bar x = \mu</tex> (выборочное среднее равно заданному числу <tex>\mu</tex>).
 +
 
 +
'''Статистика критерия:'''
 +
::<tex>\displaystyle t = \frac{(\bar x - \mu)\sqrt{m}}{s}</tex>
имеет [[распределение Стьюдента]] с <tex>m-1</tex> степенями свободы,
имеет [[распределение Стьюдента]] с <tex>m-1</tex> степенями свободы,
где
где
-
*<tex>\bar x = \frac1m \sum_{i=1}^m x_i</tex> — выборочное среднее,
+
::<tex>\displaystyle \bar x = \frac1m \sum_{i=1}^m x_i</tex> — выборочное среднее,
-
*<tex>s_m^2 = \frac1{m-1} \sum_{i=1}^m \left( x_i - \bar x \right)^2</tex> — выборочная дисперсия.
+
::<tex>\displaystyle s^2 = \frac1{m-1} \sum_{i=1}^m \left( x_i - \bar x \right)^2</tex> — выборочная дисперсия.
 +
 
 +
'''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>):
-
Критерий:
 
* против альтернативы <tex>H_1:\; \bar x \neq \mu</tex>
* против альтернативы <tex>H_1:\; \bar x \neq \mu</tex>
-
::если <tex> |t| > t_{m-1,\alpha/2} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
+
::если <tex> |t| > t_{\alpha/2} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
 +
 
* против альтернативы <tex>H'_1:\; \bar x < \mu</tex>
* против альтернативы <tex>H'_1:\; \bar x < \mu</tex>
-
::если <tex> t < t_{m-1,\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
+
::если <tex> t < t_{\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
 +
 
* против альтернативы <tex>H''_1:\; \bar x > \mu</tex>
* против альтернативы <tex>H''_1:\; \bar x > \mu</tex>
-
::если <tex> t > t_{m-1,1-\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
+
::если <tex> t > t_{1-\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
где
где
-
<tex> t_{m-1,\alpha} </tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] распределения Стьюдента с <tex>m-1</tex> степенями свободы.
+
<tex> t_{\alpha} </tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] распределения Стьюдента с <tex>m-1</tex> степенями свободы.
-
== Сравнение двух выборочных средних при известных дисперсиях ==
+
=== Сравнение двух выборочных средних при известных дисперсиях ===
-
== Сравнение двух выборочных средних при неизвестных равных дисперсиях ==
+
Заданы две выборки <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}</tex>.
-
== Сравнение двух выборочных средних при неизвестных неравных дисперсиях ==
+
'''Дополнительные предположения:'''
 +
* обе выборки [[простая выборка|простые]] и [[Нормальное распределение|нормальные]];
 +
* значения дисперсий <tex> \sigma^2_x,\, \sigma^2_y </tex> известны априори; это означает, что дисперсии были оценены заранее не по этим выборкам, а исходя из какой-то другой информации; случай «неизвестных дисперсий», когда такого источника информации нет и дисперсии приходится оценивать по самим выборкам, [[#Сравнение двух выборочных средних при неизвестных неравных дисперсиях|описан ниже]].
-
== Сравнение двух выборочных средних в связанных выборках ==
+
'''Нулевая гипотеза''' <tex>H_0:\; \bar x = \bar y</tex> (средние в двух выборках равны).
-
== История ==
+
'''Статистика критерия:'''
-
Критерий был разработан Уильямом Госсеттом для оценки качества пива на пивоваренных заводах [[Гиннесс]]а в Дублине (Ирландия). В&nbsp;связи с обязательствами перед компанией по неразглашению коммерческой тайны (руководство Гиннесса считало таковой использование статистического аппарата в своей работе), статья Госсетта вышла в 1908 году в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student» (Студент).
+
::<tex>z = (\bar x - \bar y) \left( \frac{\sigma^2_x}{m} +\frac{\sigma^2_y}{n} \right)^{-1/2}</tex>
 +
имеет стандартное [[Нормальное распределение]] <tex>\mathcal{N}(0,1)</tex>,
 +
где
 +
::<tex>\displaystyle \bar x = \frac1m \sum_{i=1}^m x_i,\;\; \bar y = \frac1n \sum_{i=1}^n y_i</tex> — выборочные средние.
 +
'''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>):
 +
 +
* против альтернативы <tex>H_1:\; \bar x \neq \bar y</tex>
 +
::если <tex> |z| > \Phi_{1-\alpha/2} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
 +
 +
* против альтернативы <tex>H'_1:\; \bar x < \bar y</tex>
 +
::если <tex> z < \Phi_{\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
 +
 +
* против альтернативы <tex>H''_1:\; \bar x > \bar y</tex>
 +
::если <tex> z > \Phi_{1-\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
 +
где
 +
<tex> \Phi_{\alpha} </tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] стандартного нормального распределения.
 +
 +
=== Сравнение двух выборочных средних при неизвестных равных дисперсиях ===
 +
 +
Заданы две выборки <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}</tex>.
 +
 +
'''Дополнительные предположения:'''
 +
* обе выборки [[простая выборка|простые]] и [[Нормальное распределение|нормальные]];
 +
* значения дисперсий равны: <tex> \sigma^2_x = \sigma^2_y </tex>, но априори не известны.
 +
 +
'''Нулевая гипотеза''' <tex>H_0:\; \bar x = \bar y</tex> (средние в двух выборках равны).
 +
 +
'''Статистика критерия:'''
 +
::<tex>t = \left( \frac{\bar x - \bar y}{s} \right) \sqrt{ \frac{mn}{m+n} }</tex>
 +
имеет [[распределение Стьюдента]] с <tex>m+n-2</tex> степенями свободы,
 +
где
 +
::<tex>\displaystyle s^2 = \frac{(m-1)s_x^2+(n-1)s_y^2}{m+n-2},\;\; s_x^2 = \frac1{m-1} \sum_{i=1}^m \left( x_i - \bar x \right)^2,\;\; s_y^2 = \frac1{n-1} \sum_{i=1}^n \left( y_i - \bar y \right)^2 </tex> — выборочные дисперсии;
 +
::<tex>\displaystyle \bar x = \frac1m \sum_{i=1}^m x_i,\;\; \bar y = \frac1n \sum_{i=1}^n y_i</tex> — выборочные средние.
 +
 +
'''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>):
 +
 +
* против альтернативы <tex>H_1:\; \bar x \neq \bar y</tex>
 +
::если <tex> |z| > t_{\alpha/2} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
 +
 +
* против альтернативы <tex>H'_1:\; \bar x < \bar y</tex>
 +
::если <tex> z < t_{\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
 +
 +
* против альтернативы <tex>H''_1:\; \bar x > \bar y</tex>
 +
::если <tex> z > t_{1-\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
 +
где
 +
<tex> t_{\alpha} </tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] распределения Стьюдента с <tex>m+n-2</tex> степенями свободы.
 +
 +
=== Сравнение двух выборочных средних при неизвестных неравных дисперсиях ===
 +
Задача сравнения средних двух нормально распределённых выборок при неизвестных и неравных дисперсиях известна как проблема Беренса-Фишера.
 +
Точного решения этой задачи до настоящего времени нет.
 +
На практике используются различные приближения.
 +
 +
Заданы две выборки <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}</tex>.
 +
 +
'''Дополнительное предположение:'''
 +
обе выборки [[простая выборка|простые]] и [[Нормальное распределение|нормальные]].
 +
 +
'''Нулевая гипотеза''' <tex>H_0:\; \bar x = \bar y</tex> (средние в двух выборках равны).
 +
 +
'''Статистика критерия:'''
 +
::<tex>t = \frac{\bar x - \bar y}{s}</tex>
 +
где
 +
::<tex>\displaystyle s^2 = \frac1m{s_x^2} + \frac1n{s_y^2},\;\; s_x^2 = \frac1{m-1}\sum_{i=1}^m \left( x_i - \bar x \right)^2,\;\; s_y^2 = \frac1{n-1} \sum_{i=1}^n \left( y_i - \bar y \right)^2 </tex> — выборочные дисперсии;
 +
::<tex>\displaystyle \bar x = \frac1m \sum_{i=1}^m x_i,\;\; \bar y = \frac1n \sum_{i=1}^n y_i</tex> — выборочные средние.
 +
 +
'''Критерий''' (при [[уровень значимости|уровне значимости]] <tex>\alpha</tex>):
 +
 +
* против альтернативы <tex>H_1:\; \bar x \neq \bar y</tex>
 +
::если <tex> t > t'_{\alpha/2} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
 +
 +
* против альтернативы <tex>H'_1:\; \bar x < \bar y</tex>
 +
::если <tex> t < t'_{\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
 +
 +
* против альтернативы <tex>H''_1:\; \bar x > \bar y</tex>
 +
::если <tex> t > t'_{1-\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
 +
где квантили <tex> t'_{\alpha} </tex> определяются по-разному в различных приближениях:
 +
:* Критерий Кохрена-Кокса:
 +
::<tex> t'_{\alpha} = \frac{\nu_x t_{\alpha}(m-1) + \nu_y t_{\alpha}(n-1)}{\nu_x+\nu_y},\; \nu_x=\frac{s_x^2}m,\; \nu_y=\frac{s_y^2}n </tex>, где <tex> t_{\alpha}(f) </tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] распределения Стьюдента с <tex>f</tex> степенями свободы;
 +
:* Критерий Сатервайта:
 +
::<tex> t'_{\alpha}</tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] распределения Стьюдента с числом степеней свободы <tex>f = s^4\left( \frac1{1-m}\left(\frac{s_x^2}m\right)^2 + \frac1{1-n}\left(\frac{s_y^2}n\right)^2 \right)^{-1}.</tex>
 +
:* Критерий Крамера-Уэлча:
 +
::<tex> t'_{\alpha}</tex> есть <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] распределения Стьюдента с числом степеней свободы <tex>f = s^4\left( \frac1{1-m}\left(\frac{s_x^2}m\right)^2 + \frac1{1-n}\left(\frac{s_y^2}n\right)^2 \right)^{-1} - 2.</tex>
 +
 +
=== Сравнение двух выборочных средних в связанных выборках ===
 +
Заданы две выборки одинаковой длины <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^m = (y_1,\ldots,y_m),\; y_i \in \mathbb{R}</tex>.
 +
 +
'''Дополнительные предположения:'''
 +
* обе выборки [[простая выборка|простые]] и [[Нормальное распределение|нормальные]];
 +
* выборки связные, то есть элементы <tex>x_i,\: y_i</tex> соответствуют одному и тому же объекту, но измерения сделаны в разные моменты (например, до и после обработки).
 +
 +
'''Нулевая гипотеза''' <tex>H_0:\; \bar x = \bar y</tex> (средние в двух выборках равны).
 +
 +
Сравнение выборочных средних в связанных выборках ничем не отличается от сравнения среднего разности <tex>d_i = x_i - y_i</tex> с нулём.
 +
 +
=== Сравнение разности средних с заданным значением ===
 +
Заданы две выборки <tex>x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}</tex>.
 +
 +
'''Дополнительное предположение:'''
 +
* обе выборки [[простая выборка|простые]] и [[Нормальное распределение|нормальные]];
 +
* равенство дисперсий может предполагаться либо нет — в зависимости от этого применяется один из критериев, описанных выше.
 +
 +
'''Нулевая гипотеза''' <tex>H_0:\; \bar x + A = \bar y </tex> (средние в двух выборках отличаются на заданную величину).
 +
 +
Модифицированная первая выборка <tex>x'_i = x_i + A</tex> сравнивается с исходной второй выборкой с помощью одного из критериев, описанных выше.
 +
 +
== История ==
 +
Критерий был разработан Уильямом Госсеттом для оценки качества пива на пивоваренных заводах Гиннесса в Дублине (Ирландия). В&nbsp;связи с обязательствами перед компанией по неразглашению коммерческой тайны (руководство Гиннесса считало таковой использование статистического аппарата в своей работе), статья Госсетта вышла в 1908 году в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student» (Студент).
== Литература ==
== Литература ==
-
# ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006.
+
# ''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.:&nbsp;Физматлит, 2006. — 816&nbsp;с.
== Ссылки ==
== Ссылки ==
* [[Проверка статистических гипотез]] — о методологии проверки статистических гипотез.
* [[Проверка статистических гипотез]] — о методологии проверки статистических гипотез.
* [[Статистика (функция выборки)]]
* [[Статистика (функция выборки)]]
-
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-test Student's t-test] — статья в англоязычной Википедии.
+
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Student%27s_t-test Student's t-test] (Wikipedia).
-
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%A1%D1%82%D1%8C%D1%8E%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0 t-критерий Стьюдента] — статья в русской Википедии.
+
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%A1%D1%82%D1%8C%D1%8E%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0 t-критерий Стьюдента] (Википедия).
 +
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%A1%D1%82%D1%8C%D1%8E%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0 Распределение Стьюдента] (Википедия).
 +
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%B8%D0%BB%D0%B8_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%A1%D1%82%D1%8C%D1%8E%D0%B4%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B0 Квантили распределения Стьюдента] (Википедия).
-
{{Stub}}
 
[[Категория:Статистические тесты]]
[[Категория:Статистические тесты]]
[[Категория:Параметрические статистические тесты]]
[[Категория:Параметрические статистические тесты]]
[[Категория:Популярные и обзорные статьи]]
[[Категория:Популярные и обзорные статьи]]

Текущая версия

Содержание

t-критерий Стьюдента — общее название для статистических тестов, в которых статистика критерия имеет распределение Стьюдента. Наиболее часто t-критерии применяются для проверки равенства средних значений в двух выборках. Нулевая гипотеза предполагает, что средние равны (отрицание этого предположения называют гипотезой сдвига).

Все разновидности критерия Стьюдента являются параметрическими и основаны на дополнительном предположении о нормальности выборки данных. Поэтому перед применением критерия Стьюдента рекомендуется выполнить проверку нормальности. Если гипотеза нормальности отвергается, можно проверить другие распределения, если и они не подходят, то следует воспользоваться непараметрическими статистическими тестами.

Примеры задач

Чаще всего критерий Стьюдента применяется для проверки равенства средних значений в двух выборках.

Пример 1. Первая выборка — это пациенты, которых лечили препаратом А. Вторая выборка — пациенты, которых лечили препаратом Б. Значения в выборках — это некоторая характеристика эффективности лечения (уровень метаболита в крови, температура через три дня после начала лечения, срок выздоровления, число койко-дней, и т.д.) Требуется выяснить, имеется ли значимое различие эффективности препаратов А и Б, или различия являются чисто случайными и объясняются «естественной» дисперсией выбранной характеристики.

Пример 2. Первая выборка — это значения некоторой характеристики состояния пациентов, записанные до лечения. Вторая выборка — это значения той же характеристики состояния тех же пациентов, записанные после лечения. Объёмы обеих выборок обязаны совпадать; более того, порядок элементов (в данном случае пациентов) в выборках также обязан совпадать. Такие выборки называются связными. Требуется выяснить, имеется ли значимое отличие в состоянии пациентов до и после лечения, или различия чисто случайны.

Пример 3. Первая выборка — это поля, обработанные агротехническим методом А. Вторая выборка — поля, обработанные агротехническим методом Б. Значения в выборках — это урожайность. Требуется выяснить, является ли один из методов эффективнее другого, или различия урожайности обусловлены случайными факторами.

Пример 4. Первая выборка — это дни, когда в супермаркете проходила промо-акция типа А (красные ценники со скидкой). Вторая выборка — дни промо-акции типа Б (каждая пятая пачка бесплатно). Значения в выборках — это показатель эффективности промо-акции (объём продаж, либо выручка в рублях). Требуется выяснить, какой из типов промо-акции более эффективен.

Варианты применения

Сравнение выборочного среднего с заданным значением

Задана выборка x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R}.

Дополнительное предположение: выборка простая и нормальная.

Нулевая гипотеза H_0:\; \bar x = \mu (выборочное среднее равно заданному числу \mu).

Статистика критерия:

\displaystyle t = \frac{(\bar x - \mu)\sqrt{m}}{s}

имеет распределение Стьюдента с m-1 степенями свободы, где

\displaystyle \bar x = \frac1m \sum_{i=1}^m x_i — выборочное среднее,
\displaystyle s^2  = \frac1{m-1} \sum_{i=1}^m \left( x_i - \bar x \right)^2 — выборочная дисперсия.

Критерий (при уровне значимости \alpha):

  • против альтернативы H_1:\; \bar x \neq \mu
если  |t| > t_{\alpha/2} , то нулевая гипотеза отвергается;
  • против альтернативы H'_1:\; \bar x < \mu
если  t < t_{\alpha} , то нулевая гипотеза отвергается;
  • против альтернативы H''_1:\; \bar x > \mu
если  t > t_{1-\alpha} , то нулевая гипотеза отвергается;

где  t_{\alpha} есть \alpha-квантиль распределения Стьюдента с m-1 степенями свободы.

Сравнение двух выборочных средних при известных дисперсиях

Заданы две выборки x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}.

Дополнительные предположения:

  • обе выборки простые и нормальные;
  • значения дисперсий  \sigma^2_x,\, \sigma^2_y известны априори; это означает, что дисперсии были оценены заранее не по этим выборкам, а исходя из какой-то другой информации; случай «неизвестных дисперсий», когда такого источника информации нет и дисперсии приходится оценивать по самим выборкам, описан ниже.

Нулевая гипотеза H_0:\; \bar x = \bar y (средние в двух выборках равны).

Статистика критерия:

z = (\bar x - \bar y) \left( \frac{\sigma^2_x}{m} +\frac{\sigma^2_y}{n} \right)^{-1/2}

имеет стандартное Нормальное распределение \mathcal{N}(0,1), где

\displaystyle \bar x = \frac1m \sum_{i=1}^m x_i,\;\; \bar y = \frac1n \sum_{i=1}^n y_i — выборочные средние.

Критерий (при уровне значимости \alpha):

  • против альтернативы H_1:\; \bar x \neq \bar y
если  |z| > \Phi_{1-\alpha/2} , то нулевая гипотеза отвергается;
  • против альтернативы H'_1:\; \bar x < \bar y
если  z < \Phi_{\alpha} , то нулевая гипотеза отвергается;
  • против альтернативы H''_1:\; \bar x > \bar y
если  z > \Phi_{1-\alpha} , то нулевая гипотеза отвергается;

где  \Phi_{\alpha} есть \alpha-квантиль стандартного нормального распределения.

Сравнение двух выборочных средних при неизвестных равных дисперсиях

Заданы две выборки x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}.

Дополнительные предположения:

Нулевая гипотеза H_0:\; \bar x = \bar y (средние в двух выборках равны).

Статистика критерия:

t = \left( \frac{\bar x - \bar y}{s} \right) \sqrt{ \frac{mn}{m+n} }

имеет распределение Стьюдента с m+n-2 степенями свободы, где

\displaystyle s^2  = \frac{(m-1)s_x^2+(n-1)s_y^2}{m+n-2},\;\; s_x^2  = \frac1{m-1} \sum_{i=1}^m \left( x_i - \bar x \right)^2,\;\; s_y^2  = \frac1{n-1} \sum_{i=1}^n \left( y_i - \bar y \right)^2 — выборочные дисперсии;
\displaystyle \bar x = \frac1m \sum_{i=1}^m x_i,\;\; \bar y = \frac1n \sum_{i=1}^n y_i — выборочные средние.

Критерий (при уровне значимости \alpha):

  • против альтернативы H_1:\; \bar x \neq \bar y
если  |z| > t_{\alpha/2} , то нулевая гипотеза отвергается;
  • против альтернативы H'_1:\; \bar x < \bar y
если  z < t_{\alpha} , то нулевая гипотеза отвергается;
  • против альтернативы H''_1:\; \bar x > \bar y
если  z > t_{1-\alpha} , то нулевая гипотеза отвергается;

где  t_{\alpha} есть \alpha-квантиль распределения Стьюдента с m+n-2 степенями свободы.

Сравнение двух выборочных средних при неизвестных неравных дисперсиях

Задача сравнения средних двух нормально распределённых выборок при неизвестных и неравных дисперсиях известна как проблема Беренса-Фишера. Точного решения этой задачи до настоящего времени нет. На практике используются различные приближения.

Заданы две выборки x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}.

Дополнительное предположение: обе выборки простые и нормальные.

Нулевая гипотеза H_0:\; \bar x = \bar y (средние в двух выборках равны).

Статистика критерия:

t = \frac{\bar x - \bar y}{s}

где

\displaystyle s^2  = \frac1m{s_x^2}  + \frac1n{s_y^2},\;\; s_x^2 = \frac1{m-1}\sum_{i=1}^m \left( x_i - \bar x \right)^2,\;\; s_y^2  = \frac1{n-1} \sum_{i=1}^n \left( y_i - \bar y \right)^2 — выборочные дисперсии;
\displaystyle \bar x = \frac1m \sum_{i=1}^m x_i,\;\; \bar y = \frac1n \sum_{i=1}^n y_i — выборочные средние.

Критерий (при уровне значимости \alpha):

  • против альтернативы H_1:\; \bar x \neq \bar y
если  t > t'_{\alpha/2} , то нулевая гипотеза отвергается;
  • против альтернативы H'_1:\; \bar x < \bar y
если  t < t'_{\alpha} , то нулевая гипотеза отвергается;
  • против альтернативы H''_1:\; \bar x > \bar y
если  t > t'_{1-\alpha} , то нулевая гипотеза отвергается;

где квантили  t'_{\alpha} определяются по-разному в различных приближениях:

  • Критерий Кохрена-Кокса:
 t'_{\alpha} = \frac{\nu_x t_{\alpha}(m-1) + \nu_y t_{\alpha}(n-1)}{\nu_x+\nu_y},\; \nu_x=\frac{s_x^2}m,\; \nu_y=\frac{s_y^2}n  , где  t_{\alpha}(f) есть \alpha-квантиль распределения Стьюдента с f степенями свободы;
  • Критерий Сатервайта:
 t'_{\alpha} есть \alpha-квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы f = s^4\left( \frac1{1-m}\left(\frac{s_x^2}m\right)^2  + \frac1{1-n}\left(\frac{s_y^2}n\right)^2 \right)^{-1}.
  • Критерий Крамера-Уэлча:
 t'_{\alpha} есть \alpha-квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы f = s^4\left( \frac1{1-m}\left(\frac{s_x^2}m\right)^2  + \frac1{1-n}\left(\frac{s_y^2}n\right)^2 \right)^{-1} - 2.

Сравнение двух выборочных средних в связанных выборках

Заданы две выборки одинаковой длины x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^m = (y_1,\ldots,y_m),\; y_i \in \mathbb{R}.

Дополнительные предположения:

  • обе выборки простые и нормальные;
  • выборки связные, то есть элементы x_i,\: y_i соответствуют одному и тому же объекту, но измерения сделаны в разные моменты (например, до и после обработки).

Нулевая гипотеза H_0:\; \bar x = \bar y (средние в двух выборках равны).

Сравнение выборочных средних в связанных выборках ничем не отличается от сравнения среднего разности d_i = x_i - y_i с нулём.

Сравнение разности средних с заданным значением

Заданы две выборки x^m = (x_1,\ldots,x_m),\; x_i \in \mathbb{R};\;\; y^n = (y_1,\ldots,y_n),\; y_i \in \mathbb{R}.

Дополнительное предположение:

  • обе выборки простые и нормальные;
  • равенство дисперсий может предполагаться либо нет — в зависимости от этого применяется один из критериев, описанных выше.

Нулевая гипотеза H_0:\; \bar x + A = \bar y (средние в двух выборках отличаются на заданную величину).

Модифицированная первая выборка x'_i = x_i + A сравнивается с исходной второй выборкой с помощью одного из критериев, описанных выше.

История

Критерий был разработан Уильямом Госсеттом для оценки качества пива на пивоваренных заводах Гиннесса в Дублине (Ирландия). В связи с обязательствами перед компанией по неразглашению коммерческой тайны (руководство Гиннесса считало таковой использование статистического аппарата в своей работе), статья Госсетта вышла в 1908 году в журнале «Биометрика» под псевдонимом «Student» (Студент).

Литература

  1. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.

Ссылки

Личные инструменты