Материал из MachineLearning.

Содержание 1 Замечания для студентов 2 Программа курса 2.1 Необходимые сведения из теории оптимального управления и автоматического регулирования 2.2 Иерархические задачи оптимального управления 2.3 Метод Лагранжа в многоуровневой координации 2.4 Принцип Бендерса 2.5 Разностные схемы и двухуровневая методика 2.6 Декомпозиция по временным интервалам 2.7 Субоптимальное управление в задачах с обратной связью 2.8 Разложение по областям пространственных переменных 2.9 Диагональная декомпозиция 2.10 Применение метода генерации столбцов 2.11 Слабосвязанные системы 2.12 Влияние перекрёстных связей 2.13 Расщепление многомерных динамических систем 2.14 Устойчивость многосвязных систем 2.15 Точное и приближённое агрегирование 2.16 Итеративное агрегирование 2.17 Разреженные матрицы 2.18 Разложение по методу малого параметра 3 Семинары 4 Литература 4.1 Основная литература 4.2 Дополнительная литература 5 См. также 6 Список подстраниц

В курсе рассматриваются теоретические основы динамического оптимального управления в сложных системах большой размерности. Описываются модели управления с большим числом уравнений и связей, принципы координации, подходы точного, приближённого и итеративного агрегирования, понижения размерности в многомерных задачах управления сложных систем.

Курс читается студентам 5 курса кафедры «Интеллектуальные системы / проектирование и организация систем» ФУПМ МФТИ. Программа лекционного курса рассчитана на 46 часов (два семестра), предусмотрены практические (семинарские) занятия (17 часов).

Замечания для студентов

• На подстранице имеется перечень вопросов к устному экзамену.
• О найденных ошибках и опечатках сообщайте мне. — А.Н.Гнеушев 21 ноября 2024
• Короткая ссылка на эту страницу: http://bit.ly/ML_ISD_CtrlSys.
• Cсылка на курс Математические модели и методы управления (9 семестр) на сайте МФТИ.
• Cсылка на курс Математические модели и методы управления (10 семестр) на сайте МФТИ.
• Cсылка на курс Математические модели и методы управления (11 семестр) на сайте МФТИ.

Программа курса

Необходимые сведения из теории оптимального управления и автоматического регулирования

• Понятие управляемой системы. Критерий управляемости и наблюдаемости.
• Формализм Гамильтона-Понтрягина.
• Принцип оптимальности Беллмана.
• Управление стохастическими системами. Управление при неопределённости.
• Фильтр Калмана. Области достижимости.

Иерархические задачи оптимального управления

• Динамическая транспортная задача.
• Проблема распределения ресурсов в динамических системах. Примеры с распределёнными параметрами.
• Наличие перекрёстных связей.

Метод Лагранжа в многоуровневой координации

• Принцип Пирсона в управлении.
• Целевая координация. Принцип прогноза взаимодействия.
• Метод двойственной координации. Метод слаженной координации.

Принцип Бендерса

• Метод последовательной фиксации параметров.
• Применение к линейно-квадратичным системам. Доказательство сходимости.

Разностные схемы и двухуровневая методика

• Изучение задач управления после дискретизации операторов в частных производных.
• Выявление ленточной структуры матриц.
• Применение диагональной декомпозиции.

Декомпозиция по временным интервалам

• Разбиение исходных интервалов на подинтервалы, в которых нарушаются свойства регулярности.
• Координация на основе условий непрерывности в точках разбиения.

Субоптимальное управление в задачах с обратной связью

• Задачи с обратной связью. Анализ уравнения Риккати.
• Искусственное разбиение на подсистемы.
• Применение к задаче движения тела между круговыми орбитами.

Разложение по областям пространственных переменных

• Разбиение области на подобласти в управлении системами с распределёнными параметрами.
• Построение итеративных методов декомпозиции для сопряжённых решений.

Диагональная декомпозиция

• Редукция систем по одинаковым собственным значениям части матрицы.

Применение метода генерации столбцов

• Сведение к задачам обобщённого математического программирования задач управления с закреплённым концом.
• Применение декомпозиции Данцига-Вулфа.

Слабосвязанные системы

• Выделение диагональных подматриц линейных динамических систем.
• Оценка радиуса круга, в котором лежат собственные числа указанных подматриц.
• Модель отклонения движения самолёта.

Влияние перекрёстных связей

• Критерий слабых перекрёстных связей линейных систем.
• Слабые связи между подсистемами при наличии обратных связей.
• Оценки субоптимальных решений.

Расщепление многомерных динамических систем

• Расщепление в смысле зависимости компоненты вектора выхода от единственной компоненты вектора входа.
• Критерий расщепления. Отсутствие внутренних взаимодействий.
• Расщепление в нелинейных динамических системах.

Устойчивость многосвязных систем

• Понятие многосвязных систем. Критерии устойчивости для подсистем.
• Метод векторных функций Ляпунова.
• Критерий устойчивости многосвязных систем. Модель продольного движения самолёта.
• Нелинейное взаимодействие между подсистемами.

Точное и приближённое агрегирование

• Правила введения макропеременных. Потеря точности. Восстановление исходных переменных.
• Выбор агрегирования в линейных системах.
• Агрегирование в системах с обратной связью.
• Агрегирование в нелинейных динамических задачах.
• Агрегирование в экологической модели "хищник-жертва".
• Агрегирование в межотраслевом балансе.

Итеративное агрегирование

• Динамические иерархические системы с общим ресурсным ограничением. Правило ввода агрегатов.
• Локальная монотонность итеративного агрегирования. Постановка с подсистемами с распределёнными параметрами.
• Аналитическое понимание размерности в линейно-квадратичных задачах. Случай перекрёстных связей.
• Модели с неопределёнными параметрами. Распределение тепловой энергии по подсистемам. Нелинейная постановка.

Разреженные матрицы

• Фиксация переменных в подсистемах по сильному и слабому взаимодействиям.
• Матрицы порогового уровня. Конкретные примеры.

Разложение по методу малого параметра

• Порождающая задача нулевого приближения.
• Вспомогательные задачи для нахождения линейного приближения.
• Случаи декомпозируемости нулевого приближения.

Семинары

1. Принцип многоуровневой оптимизации Пирсона. Его локальная монотонность по функционалу. Координация на псевдомодели. Случай нелинейных систем. Блочно-сепарабельные связывающие ограничения.
2. Слабые связи по различию собственных значений диагональных подматриц. Задача об отклонении самолёта.
3. Задача о зависимости каждой компоненты вектора выхода от единственной компоненты вектора входа.
4. Метод вектор-функций Ляпунова для анализа устойчивости многосвязных систем.
5. Принципы введения агрегатов и потеря точности
6. Итеративное агрегирование в динамических системах с распределёнными и сосредоточенными параметрами.

Литература

Основная литература

1. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников Н.А., Тихомиров В.Н. Оптимальное управление движением М.:ФИЗМАТЛИТ, 2005 - 376 стр.
2. Благодатских В.И. Введение в оптимальное управление (линейная теория) М.: Высшая школа, 2001 - 240 стр.
3. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Нелинейные и оптимальные системы Л.: Питер, 2006 - 240 стр.
4. Ким Д.П. Теория автоматического управления. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2007 - 440 стр.
5. Понтрягин Л.С. Принцип максимума в оптимальном управлении М.: Едиториал УРСС, 2004. - 64 стр.
6. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. Изд.2 2005 - 384 стр.

Дополнительная литература

1. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. - М.: Наука, 1971.
2. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.Г., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Наука, 1976.
3. Поспелов Г.С., Ириков В.А. Программно-целевое планирование и управление. - М.: Сов. радио, 1976.
4. Поспелов Г.С., Вен В.Л., Солодов В.М., Шафранский В.В., Эрлих А.И. Проблемы программно-целевого планирования и управления. - М.: Наука, 1981.
5. Сингх М., Титли А. Системы: декомпозиция, оптимизация и управление. - М.: Машиностроение, 1986.
6. Цурков В.И. Динамические задачи большой размерности. - М.: Наука, 1988.

Программу составил
В.И.Цурков, профессор, д.ф.–м.н.

См. также

• Кафедра «Интеллектуальные системы» ФУПМ МФТИ
• Специализация «Проектирование и организация систем» кафедры «Интеллектуальные системы» ФУПМ МФТИ
• Расписание специализации «Проектирование и организация систем»
• Курс Математические модели и методы управления на сайте МФТИ.

Список подстраниц

Математические модели и методы управления сложных систем (курс лекций, В.И.Цурков)/Вопросы