Метод Холма

Материал из MachineLearning.

Метод Холма-Бонферрони (также Метод Холма, Поправка Холма-Бонферрони) — один из методов контроля групповой вероятности ошибки (первого рода). Является равномерно более мощным, чем поправка Бонферрони и решает проблему падения мощности при росте числа гипотез.

Содержание

1 Определение
- 1.1 Альтернативная постановка
2 Пример
3 Реализации
4 Ссылки
5 См. также

Определение

Пусть $p_{(1)}\leq \ldots \leq p_{(m)}$ — уровни значимости $p_i$ , упорядоченные по неубыванию, $H_{(1)}, \ldots, H_{(m)}$ — соответствующие $p_{(i)}$ гипотезы. Процедура Холма определена следующим образом.

Шаг 1. Если $p_{(1)}\geq\frac{\alpha}{m}$ , принять гипотезы $H_{(1)}, \ldots, H_{(m)}$ и остановиться. Иначе, если $p_{(1)}<\frac{\alpha}{m}$ , отвергнуть гипотезу $H_{(1)}$ и продолжить проверку оставшихся гипотез на уровне значимости $\frac{\alpha}{m-1}$ .

Шаг 2. Если $p_{(2)}\geq\frac{\alpha}{m-1}$ , принять гипотезы $H_{(2)}, \ldots, H_{(m)}$ и остановиться. Иначе, если $p_{(2)}<\frac{\alpha}{m-1}$ , отвергнуть гипотезу $H_{(2)}$ и продолжить проверку оставшихся гипотез на уровне значимости $\frac{\alpha}{m-2}$ .

И т.д.

Процедура обеспечивает $\operator{FWER}\leq\alpha$ при любом характере зависимости между $p_i.$

Альтернативная постановка

При рассмотрении неравенств, деление может быть заменено на умножение, то есть вместо неравенств вида $p_{(i)}<\frac{\alpha}{m-i+1}$ используются неравенства вида $p \cdot (m-i+1)<\alpha$ .

Пример

Рассмотрим проверку 4-х гипотез при $\alpha=0.05$ . Пусть для них получены p-value: 0.01, 0.04, 0.03 and 0.005. Будут проверены следующие неравенства:

 1.  отклоняем 4-ю нулевую гипотезу.
 2.  отклоняем 1-ю нулевую гипотезу.
 3.  принимаем 3-ю и 2-ю нулевую гипотезы.

Реализации

MATLAB: функция multcompare, вычисляющая поправку Бонферрони, не поддерживает, однако, поправку Холма-Бонферрони. Реализация доступна на MATLAB File Exchange
R: функция p.adjust (с параметром method="holm") из стандартного пакета stats позволяет получить модифицированные уровни значимости с учетом поправки Холма-Бонферрони.