Мультиномиальное распределение зависимых случайных величин

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Версия 11:09, 1 ноября 2013

Мультиномиальное) распределение зависимых случайных величин — это обобщение биномиального распределения двух случайных величин на случай зависимых испытаний случайного эксперимента с несколькими возможными исходами (таблица 1).

Таблица 1 – Характеристики полиномиального распределения зависимых случайных величин (настоящей интерпретации 21-го века)
Пространство элементарных событий	$\sum_{i=1}^k\Omega_i(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})$
Вероятность	$\prod_{i=1}^kP(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=$ $=\frac{n!}{n_1! \cdots n_k!} p_1^{n_1}\cdots p_k^{n_k}$
Максимальная вероятность (при математическом ожидании распределения)	$\left(\prod_{i=1}^nP(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1}) \right)_{max}=$ $=\left(\frac{n!}{n_1! \cdots n_n!} p_1^{n_1}\cdots p_n^{n_n}\right)_{max}=\frac{n!}{n^n}$
Математическое ожидание (как максимальное произведение математических ожиданий случайных величин)	$\left(\prod_{i=1}^nE(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})\right)_{max}=$ $=\left(\prod_{i=1}^n(n-\ldots-n_{i-1})p_i)\right)_{max}=\frac{n!}{n^n}$
Дисперсия	$\sum_{i=1}^kD(t_i,X_i=n_i)=\sum_{i=1}^k(n-\ldots-n_{i-1})p_iq_i$
Максимальная дисперсия (при математическом ожидании распределения)	$\left(\sum_{i=1}^nD(t_i,X_i =n_i)\right)_{max}=$ $=\left(\sum_{i=1}^n(n-\ldots-n_{i-1})p_iq_i\right)_{max}=\frac{n^2-1}{2n}$
Ковариационная матрица	$B=\\| b_{ij} \\|$ , где $b_{ij} = \begin{cases} (n-\ldots-n_{i-1})p_iq_i, & i=j,\\ 0, & i \not= j \end{cases}$
Корреляционная матрица	$P=\\| \rho_{ij} \\|$ , где $\rho _{ij} = \begin{cases} 1, & i=j,\\ 0, & i \not= j \end{cases}$
$\chi^2$ - критерий	$\chi^2=\sum_{i=1}^k [X_i-(n-\ldots-n_{i-1})p_i^{(0)}]^2/( n-\ldots-n_{i-1})p_i^{(0)}=$ $=-n+\sum_{i=1}^kX_i^2 /( n-\ldots-n_{i-1})p_i^{(0)}$

Схема повторных циклов случайных зависимых экспериментов

Мультиномиальное распределение появляется в так называемой полиномиальной схеме повторных циклов случайных зависимых экспериментов. Каждый цикл экспериментов осуществляют методом выбора без возвращения в дискретной временной последовательности $t_1,\ldots,t_k$ , номера точек которой соответствуют номерам случайных величин.

Каждая из случайных величин распределения $X_i=n_i \mid X_{i-1}=n_{i-1}$ — это число $n_i$ наступлений одного соответствующего события

$x_i,\quad i=1,\ldots,k$

в $i$ - ый момент времени при условии, что в $(i-1)$ - ый момент произошло $n_{i-1}$ наступлений предшествующего события $x_{i-1}$ с положительным исходом, все вероятности которых $p_i, \quad i=1,\ldots,k$ нормированы $p_1+\ldots+p_k=1$ и неизменны во время проведения экспериментов.

Если в каждом цикле экспериментов вероятность наступления события $x_i$ равна $p_i$ , то полиномиальная вероятность равна вероятности того, что при $n$ экспериментах события $x_1,\ldots,x_k$ наступят $n_1,\ldots,n_k$ раз соответственно.

Случайная величина мультиномиального распределения в соответствующей точке дискретной временной последовательности $t_1,\ldots,t_k$ имеет:

пространство элементарных событий

$\Omega_i(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=[0\le n_i \le n-\ldots-n_{i-1}],$

вероятность

$P(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})={n-\ldots-n_{i-1}\choose n_i}p_i^{n_i},$

математическое ожидание

$E(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=(n-\ldots-n_{i-1})p_i$

и дисперсию

$D(t_i,X_i=n_i)=( n-\ldots-n_{i-1})p_iq_i, \quad q_i=1-p_i.$

Пространство элементарных событий мультиномиального распределения есть сумма точечных пространств элементарных событий его случайных величин, образующих дискретную последовательность точек $t_1,\ldots,t_k,$ цикла, а вероятность мультиномиального распределения — произведение вероятностей его случайных величин.

Технические задачи и технические результаты

Для получения полиномиального распределения необходимо решить две технические задачи и получить технические результаты, относящиеся к математической

физике [1,2].

Первая и вторая технические задачи — соответственно получение вероятности и математического ожидания полиномиального распределения.

Технические результаты — набор технических параметров, с одной стороны, минимально необходимый для описания полиномиального распределения и его случайных величин, с другой стороны, позволяющий при необходимости расширить число параметров с целью получения дополнительных сведений о распределении, например, таких как корреляционная матрица, ковариационная матрица , $\chi^2$ критерий и другие.

Минимально необходимый набор параметров при решении первой технической задачи: пространство элементарных событий,

вероятность, математическое ожидание и дисперсия каждой случайной величины распределения, дисперсия распределения и произведение математических ожиданий его случайных величин как исходное выражение для решения второй технической задачи.

При решении второй технической задачи минимально необходимый набор параметров аналогичен предыдущему набору. Исключен из-за ненадобности один параметр — произведение математических ожиданий случайных величин и дополнен двумя параметрами — максимальной вероятностью и максимальной дисперсией полиномиального распределения.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9C%D1%83%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B7%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D1%81%D0%B8%D0%BC%D1%8B%D1%85_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D1%85_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD»

@@ Строка 83: / Строка 83: @@
 :<tex>D(t_i,X_i=n_i)=( n-\ldots-n_{i-1})p_iq_i, \quad q_i=1-p_i.</tex>
-'''Пространство элементарных событий полиномиального распределения''' есть сумма точечных пространств элементарных событий его случайных величин, образующих дискретную последовательность точек <tex> t_1,\ldots,t_k, </tex> цикла, а ''вероятность полиномиального распределения''  &mdash;  произведение вероятностей его случайных величин.
+'''Пространство элементарных событий мультиномиального распределения''' есть сумма точечных пространств элементарных событий его случайных величин, образующих дискретную последовательность точек <tex> t_1,\ldots,t_k, </tex> цикла, а ''вероятность мультиномиального распределения''  &mdash;  произведение вероятностей его случайных величин.
 == Технические задачи и технические результаты ==

Мультиномиальное распределение зависимых случайных величин

Материал из MachineLearning.

Версия 11:09, 1 ноября 2013

Схема повторных циклов случайных зависимых экспериментов

Технические задачи и технические результаты

Просмотры

Личные инструменты

Навигация

Поиск

Инструменты