Поиск нелинейной модели поверхности Мохоровичича (пример)

Материал из MachineLearning.

Поиск нелинейной модели поверхности раздела пород земной коры.

Содержание

1 Аннотация
2 Постановка задачи
3 Пути решения задачи
4 Смотри также

Аннотация

Рассматривается задача восстановления функциональной зависимости глубины прохождения поверхности раздела пород земной коры от значений поля силы тяжести на определенных высотах. На вид зависимости накладываются ограничения в силу особенностей задачи. Применяется символьная регрессия и метод полного перебора суперпозиций, полученных из заданного набора функций. Построен алгоритм нахождения парето-оптимального фронта по совокупности критериев качества.

Постановка задачи

Имеется несколько точек $\{(y_i,z_i)\}_{i=1}^L$ на поверхности Земли. Каждой точке сопоставлен вектор значений силы тяжести $\mathbf{x}_i=(g^{i}_{1},\ldots,g^{i}_{k})$ , измеренной на~заданных высотах $1,\ldots,k$ , а также глубина границы раздела: $\mathbb{X} = (\mathbf{x}_{1},\ldots,\mathbf{x}_{L})$ , $\mathbb{H} = (H_{1},\ldots,H_{L})$ . Здесь $L$ - количество точек, в которых известна глубина прохождения границы раздела, $k$ - число измерений силы тяжести в каждой точке.

Кроме того, имеется множество точек, на которых известны только векторы значений силы тяжести $\mathbf{X}$ . Требуется построить функцию $h(g_{1},\ldots,g_{k})$ , которая позволяет вычислять значение глубины раздела слоёв по~значениям сил тяжести и вычислить её на~заданном множестве точек.

Требуется найти $\{\widehat{h}^j(g_1,\ldots,g_k)\} _{j\in P} =\{\left.h_{s^*_j}(\mathbf{w},g_1,\ldots,g_k)\right| _{\mathbf{w} = \mathbf{w^*_j}}\} _{j\in P}$ , где $\widehat{h}\in\mathfrak{F}$ , $\mathfrak{F}$ - множество $k$ -местных непрерывных, монотонных функций действительной переменной, $h_s\in\mathfrak{F_1}$ , $\mathfrak{F_1}$ - множество функций из $\mathfrak{F}$ , зависящих дополнительно от вектора параметров, $s\in\mathfrak{S}$ - множество индексов функций множества $\mathfrak{F_1}$ , $\mathbf{w}$ - настраиваемый вектор параметров, $\mathbf{w}\in\mathfrak{W}(s)$ , $\mathfrak{W}(s)$ - множество допустимых векторов параметров функции $h_s$ .

Запишем сумму квадратов регрессионных остатков $R_J(h_s) = \frac{1}{|J|}\sum_{i \in J}\left(h_s(\mathbf{w},\mathbf{x}_i)-h^{*}(\mathbf{x}_i)\right)^2$ , где $(\mathbf{x}_i = ng^{i}_{1},\ldots,g^{i}_{k})$ , $h^{*}(\mathbf{x}_i) = H_i\in\mathbb{H}$ , $J$ - множество индексов объектов, по которым считается сумма, $J = \{1\ldots L\}$ .

Используются следующие критерии качества.

Переобученность $Q$ модели. Мы будем разбивать выборку $\mathbb{X}$ на обучающую $X^l$ и контрольную $X^m$ , $\mathbb{X} = X^l\sqcup X^m$ . Пусть $J_l$ и $J_m$ - множества индексов объектов обучающей и контрольной выборок, тогда $J = J_l\sqcup J_m$ , где $J$ - множество индексов всех объектов выборки. Вектор параметров модели $\mathbf{w}$ будет настраиваться по минимизации функционала $R_{J_l}(h_s(\mathbf{w},g_1,\ldots,g_k))$ , а значение $Q$ критерия будет вычислено по байесовскому информационному критерию BIC: $Q = L\ln\left(R_J(h_s(\mathbf{w^{*}},g_1,\ldots,g_k))\right)+d^2\ln(L)$ , где $d$ - длина вектора $\mathbf{w}$ .

Простота модели $C$ будет вычислена как число поддеревьев дерева суперпозиции.

Качество приближения данных будет вычислено как средняя сумма квадратов регрессионных остатков $R_{J_m}$ на контрольной подвыборке.

Множество $\{h_s^j\}_{j\in P}$ - парето-оптимальное множество по совокупности критериев качества: $\{s\in\mathfrak{S}| POF(h_s) = 1\},$ где $POF(h_s)$ - номер парето-слоя, в котором лежит модель с индексом $s$ и вектором параметров, настроенным по минимизации суммы квадратов регрессионных остатков на обучающей подвыборке: $\mathbf{w^{*}} = \arg\min_{\mathbf{w}\in\mathfrak{W}(s)}R_{J_l}(h_s).$ Для каждой $h_{s^*_j}$ вектор параметров находится как $\mathbf{w^{*}_j} = \arg\min_{\mathbf{w}\in\mathfrak{W}(s^*_j)}R_{J_l}(h_{s^*_j}).$

Пути решения задачи

Порождение суперпозиций функций набора методом полного перебора. Каждой суперпозиции можно поставить в соответствие дерево, в вершинах которого стоят функции набора, в листьях - аргументы, а ребро, связывающее вершины означает, что функция, соответствующая вершине-потомку подается в качестве аргумента на вход функции, соответствующей вершине-предку. Метод заключается в том, чтобы перебрать все возможные суперпозиции функций набора вплоть до определенной глубины/длины. В нашей задаче, поскольку $h = h(g_{1},\ldots,g_{k})$ , будем осуществлять перебор среди суперпозиций, в которых на месте самых нижних функций (листьев дерева суперпозиции) стоят дискретные функции $g_{1},\ldots,g_{k}$ .