Прикладная алгебра (курс лекций, С.И. Гуров)

Материал из MachineLearning.

Обзорный курс для студентов 3-го потока ВМК МГУ по основам алгебры (группы, кольца, поля) и её приложениям в кодировании и шифровании.

Лектор: Гуров Сергей Исаевич

Ассистенты: Кропотов Дмитрий, Варламова Арина, Добролюбова Ольга

Свои вопросы по курсу можно задавать в телеграм-чате.

В осеннем семестре 2020/2021 уч. г. занятия проходят в дистанционном режиме по понедельникам, начало в 12-50.

Видеозаписи отдельных занятий: ссылка

Экзамен

Консультации к экзамену состоятся 6 января в 14-00 и 10 января в 12-00. Зум-ссылка.

Все студенты, сдающие экзамен, заранее распределяются по конкретному дню/времени сдачи. Для участия в экзамене необходимо добавиться в курс на классруме. За час до запланированного времени сдачи студент через классрум получает номер экзаменационного вопроса, а также зум-ссылку. В течение этого часа студент самостоятельно пишет ответ на экзаменационный вопрос. При этом разрешается пользоваться любыми материалами. Далее в указанное время студент подключается по зум-ссылке и сдаёт устный экзамен экзаменатору. При ответе экзаменатору со стороны студента должна быть обеспечена возможность интерактивного написания формул. Здесь можно использовать графический планшет или установить мобильный телефон в качестве выносной веб-камеры, закрепить его над столом и далее писать ручкой на бумаге. Опрос по курсу начинается с вопросов теоретического минимума. На эти вопросы студент должен готов отвечать без подготовки. Неудовлетворительный ответ на вопросы теор.минимума влечёт неудовлетворительную оценку за экзамен.

Вопросы к экзамену

Теоретический минимум

Материалы

Конспект лекций

Программа курса

Группы, кольца, поля

Группы
Кольца и поля
Векторные пространства, гомоморфизмы, сравнения

Конечные кольца и поля

Поля Галуа
Вычисления в конечных кольцах и полях
Алгебра векторов над конечным полем
Корни многочленов над конечным полем
Циклические подпространства колец вычетов

Коды, исправляющие ошибки

Блоковое кодирование: основные понятия
Линейные коды
Синдромное декодирование линейных кодов
Циклические коды
Коды БЧХ
Декодирование кодов БЧХ

Алгебраические основы криптографии

Основные понятия
Система шифрования RSA
Факторизация натуральных чисел
Дискретное логарифмирование
Криптосистемы МакЭлиса и Нидеррайтера

Начала эллиптической криптографии

Эллиптические кривые: введение
Основные понятия
Эллиптические кривые в конечных полях
Криптосистемы на эллиптических кривых

Литература

Журавлёв Ю. И., Флёров Ю. А., Вялый М. Н. Дискретный анализ. Основы высшей алгебры. М.: МЗ Пресс, 2007.
Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. М.: Мир, 1988.
Морелос-Сарагоса Р. Искусство помехоустойчивого кодирования. Методы, алгоритмы, применение. М.: Техносфера, 2006.
Питерсон У., Уэлдон Э. Коды, исправляющие ошибки. М.: Мир, 1976.
Токарева Н. Н. Симметричная криптография. Краткий курс: учебное пособие / Новосиб. гос. ун-т. Новосибирск, 2012.
Применко Э. А. Алгебраические основы криптографии: Учебное пособие. - М.: Книжный дом «Либроком», 2014.