Участник:Александр Двойнев/песочница

Материал из MachineLearning.

< Участник:Александр Двойнев(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(Полностью удалено содержимое страницы)
 
(11 промежуточных версий не показаны.)
Строка 1: Строка 1:
-
== Введение ==
 
-
Ставится задача вычислить интеграл вида
 
-
{{eqno |1}}
 
-
::<tex>J=\int_a^bf(t)dt,</tex>
 
-
где <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - нижний и верхний пределы интегрирования; <tex>f(t)</tex> - непрерывная функция на отрезке <tex>[a,b]</tex>.
 
-
Пусть на отрезке интегрирования дана сетка, т.е. имеется совокупность узлов
 
-
<tex>\left\{{t_i}\right\}_{i = 0}^{N},\; i\in \left[{a, b}\right].</tex> Тогда интервал <tex>[a,b]</tex> разобьется на участки <tex>\tau_i = t_i-t_{i-1},\; i=1,\dots,N.</tex>.
 
-
Пусть также известны значения функции в узлах этой сетки, т.е. задана таблица
 
-
<tex>f_i = \left\{{f(t_i)}\right\}_{i = 0}^{N}.</tex>
 
-
Представим интеграл {{eqref|1}} в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:
 
-
{{eqno|2}}
 
-
::<tex>\int_a^bf(t)dt=\sum_{i=1}^N\;\int_{t_{i-1}}^{t_i}f(t)dt.</tex>
 
-
 
-
Сущность большинства методов вычисления определённых интегралов состоит в замене подынтегральной функции <tex>f(t)</tex> на отрезке <tex>[t_{i-1},\;t_i]</tex> аппроксимирующей функцией <tex>\varphi(t)</tex>, для которой можно легко записать первообразную в элементарных функциях, т.е.
 
-
{{eqno |3}}
 
-
::<tex>\int_{t_{i-1}}^{t_i}f(t)dt=\int_{t_{i-1}}^{t_i}\varphi(t)dt+R_i=S_i+R_i,</tex>
 
-
{{eqno|1*}}
 
-
::<tex>J=\sum_{i=1}^N \left( \int_{t_{i-1}}^{t_i}\varphi(t)dt+R_i \right)=S+R,</tex>
 
-
где <tex>S_i</tex> - приближённое значение интеграла на i-м отрезке, <tex>S=\sum_{i=1}^NS_i,</tex> а <tex>R_i</tex> - погрешность вычисления интеграла, <tex>R=\sum_{i=1}^NR_i,</tex>. Лучше всего изучена замена <tex>f(t)</tex> алгебраическим многочленом.
 
-
 
-
== Изложение метода ==
 
-
=== Общий случай ===
 
-
Возьмём в {{eqref|3}} в качестве аппроксимирующей функции [[Интерполяция кубическими сплайнами|кубический сплайн]]:
 
-
{{eqno |4}}
 
-
::<tex>\int_{t_{i-1}}^{t_i}f(t)dt = \int_{t_{i-1}}^{t_i}\varphi_i(t)dt+R_i,</tex> где
 
-
 
-
{{eqno|φ}}
 
-
::<tex>\varphi_i(t) = a_i+b_i(t-t_{i-1})+c_i(t - t_{i-1})^2 + d_i(t - t_{i-1})^3, \; t \in [t_{i-1},\;t_i]. </tex>
 
-
 
-
Известно, что коэффициенты <tex> a_i, b_i</tex> и <tex>d_i</tex> вычисляются по следующим формулам:
 
-
{{eqno|5a}}
 
-
::<tex> a_i=f_{i-1}</tex>
 
-
 
-
{{eqno|5b}}
 
-
::<tex>b_i=\frac{f_i-f_{i-1}}{\tau_i}\;-\;\frac{\tau_i(2c_i+c_{i+1})}{3}</tex>
 
-
 
-
{{eqno|5d}}
 
-
::<tex>d_i=\frac{c_{i+1}-c_i}{3\tau_i}</tex>
 
-
 
-
А коэффициенты <tex>c_i</tex> являются решением [[СЛАУ]]:
 
-
{{eqno|5c}}
 
-
::<tex>\tau_{i-1}c_{i-1}+2(\tau_{i-1}+\tau_i)c_i+\tau_i c_{i+1}=3\left(\frac{f_i-f_{i-1}}{\tau_i} \; - \; \frac{f_{i-1}-f_{i-2}}{\tau_{i-1}}\right),\;\; 2 \le i \le N</tex>
 
-
Нетрудно видеть, что матрица для решения [[СЛАУ]] {{eqref|5c}} есть трёхдиагональная матрица с диагональным преобладанием. Поэтому коэффициенты <tex>c_i</tex> можно вычислить с помощью метода прогонки.
 
-
 
-
Коэффициенты <tex>c_1</tex> и <tex>c_{N+1}</tex> получаются из условий свободных концов сплайна. Обычно требуют нулевую кривизну на концах сплайна и берут <tex>c_1=c_{N+1}=0.</tex>
 
-
 
-
В итоге интеграл {{eqref|1*}} запишется как сумма интегралов от сплайнов:
 
-
 
-
::<tex>J=\sum_{i=1}^N\;\int_{t_{i-1}}^{t_i}\varphi_i(t)dt+R=\sum_{i=1}^N\left(a_i\tau_i+{b_i\over2}\tau_i^2+{c_i\over3}\tau_i^3+{d_i\over4}\tau_i^4\right)+R.</tex>
 
-
 
-
Последняя формула упрощается при подстановке в неё выражений {{eqref|5a}}, {{eqref|5b}} и {{eqref|5d}} для коэффициентов <tex>a_i,\;b_i</tex> и <tex>d_i:</tex>
 
-
 
-
{{eqno|6}}
 
-
::<tex>J = \sum_{i=1}^N\;\frac{f_i+f_{i-1}}{2}\tau_i\;-\;\sum_{i=1}^N\;\frac{\tau_i^3(c_{i+1}+c_i)}{12}+R.</tex>
 
-
 
-
=== Случай с равномерной сеткой ===
 
-
 
-
Пусть на отрезке <tex>[a,b]</tex> задана равномерная сетка, т.е. <tex>\tau_1=\tau_2=\dots=\tau_N=\tau.</tex> Тогда выражение {{eqref|6}} перепишется в виде:
 
-
 
-
{{eqno|7}}
 
-
::<tex>J\;=\;\frac{\tau}{2}(f_0+f_N)+\tau\sum_{i=1}^{N-1}f_i-\frac{\tau^3}{6}\sum_{i=2}^Nc_i+R.</tex>
 
-
 
-
Просуммируем уравнения {{eqref|5c}} от i=2 до N. Получим:
 
-
 
-
{{eqno|8}}
 
-
::<tex> 6\sum_{i=2}^Nc_i=(c_2+c_N)+\frac{3}{\tau^2}(f_0-f_1+f_N-f_{N-1}).</tex>
 
-
 
-
Подставим {{eqref|8}} в {{eqref|7}} и получим окончательное выражение для <tex>J</tex>:
 
-
 
-
{{eqno|9}}
 
-
::<tex> J\;=\;\tau\sum_{i=2}^{N-2}f_i+\frac{\tau}{12}(5f_0+13f_1+13f_{N-1}+5f_N)-\frac{\tau^3}{36}(c_2+c_N)+R</tex>
 
-
 
-
Несмотря на то, что <tex>c_2</tex> и <tex>c_N</tex> все равно придется вычислять методом прогонки, точность и скорость вычисления приближенного значения интеграла будут увеличены за счет сокращения числа слагаемых.
 
-
 
-
== Анализ метода и ошибок ==
 
-
 
-
Анализ формулы {{eqref|6}} показывает, что первый член в правой части совпадает с [[Методы прямоугольников и трапеций|формулой трапеций]]. Следовательно, второй член характеризует поправку к методу трапеций, которую дает использование сплайнов.
 
-
 
-
Как следует из формулы {{eqref|φ}}, коэффициенты <tex>c_i</tex> выражаются через вторые производные <tex>\varphi_i''(t):</tex>
 
-
 
-
::<tex>c_i=\frac{1}{2}\varphi_i''(t_{i-1})\approx\frac{1}{2}f_{i-1}''.</tex>
 
-
 
-
Это позволяет оценить второй член правой части формулы {{eqref|6}}:
 
-
 
-
::<tex>\frac{\tau_i^3}{12}(c_{i-1}+c_i)\approx\frac{\tau_i^3}{12}f_*'',</tex>
 
-
 
-
где <tex>f_*''</tex> - вторая производная в некоторой внутренней точке. Полученная оценка показывает, что добавка к формуле трапеций, которую дает использование сплайнов, компенсирует погрешность самой формулы трапеций.
 
-
 
-
== Числовой пример ==
 
-
 
-
[[Изображение:Splineint.jpg|thumb|200px| рис.1. График функции]]
 
-
Рассмотрим функцию <tex>f(t)=sin(t).</tex> Вычислим с помощью сплайн-квадратур приближенное значение интеграла
 
-
 
-
::<tex>\int_0^ \pi f(t)dt=\int_0^\pi sin(t) dt=2</tex>
 
-
 
-
и исследуем поведение погрешности. Результаты работы [[Media:Splineint.zip|программы]] проиллюстрируем в виде графика зависимости логарифма ошибки от числа разбиений:
 
-
 
-
{| class="wikitable"
 
-
|[[Изображение:Splineint100.jpg|thumb|400px| рис.2. Число разбиений: 100]]
 
-
|[[Изображение:Splineint1kk.jpg|thumb|400px| рис.3. Число разбиений: 1 000 000]]
 
-
|}
 
-
 
-
При этом красным цветом показан результат рассчетов по формуле {{eqref|9}}, а зеленым - по формуле {{eqref|6}}.
 
-
 
-
== Рекомендации программисту ==
 
-
 
-
=== Пример программы ===
 
-
 
-
Ниже приведен пример программы на языке C++, считающей приближенное значение интеграла с помощью сплайн-квадратур:
 
-
[[Media:Splineint.zip|Splineint.zip [0.7Кб]]]
 
-
 
-
'''Некоторые комментарии по работе с программой:'''
 
-
 
-
В 5-й строке <code>const int N=100;</code> N - число отрезков <tex>\tau_i.</tex>
 
-
 
-
В 7-й строке <code>const double a=1,b=6;</code> <tex>a</tex> и <tex>b</tex> - пределы интегрирования.
 
-
 
-
В 49-й строке <code>f[i]=0.6*x*x*x-3*x*x+3*x;</code> f[i] - интегрируемая функция.
 
-
 
-
== Заключение ==
 
-
 
-
Итак, мы получили, что погрешность сплайн-квадратуры меньше, чем погрешность метода трапеций. Однако [[алгоритм]] интегрирования с помощью сплайнов сложнее алгоритмов методов трапеций и Симпсона за счет необходимости решения СЛАУ для опрееления коэффициентов сплайнов <tex>c_i.</tex> Также при решении СЛАУ теряется точность. Поэтому рационально использовать сплайн-квадратуры в комплексе, когда сплайны применяются для сглаживания зависимостей, обработки эксперимениальных данных и т.п.
 
-
 
-
== Ссылки ==
 
-
* [[Практикум ММП ВМК, 4й курс, осень 2008|Практикум ММП ВМК, 4й курс, осень 2008]]
 
-
* [[Интерполяция кубическими сплайнами]]
 
-
 
-
== Список литературы ==
 
-
* http://www.intuit.ru/department/calculate/calcmathbase/7/1.html
 
-
* http://mathalgo.blogspot.com/2007/11/blog-post.html
 
-
* http://myhomepage.h17.ru/Lect06/lect06.htm#02
 
-
* А.Е. Мудров. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. - Томск:МП "РАСКО", 1991.
 

Текущая версия

Личные инструменты