Критерий Бартелса

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)

Текущая версия

Критерий Бартелса (Bartels test) — непараметрический статистический критерий, используемый для проверки случайности последовательности наблюдаемых значений. Критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения. Критерий Бартелса можно применять для анализа регрессионных остатков. Также его можно применять при анализе временных рядов для выявления тренда.

Содержание

1 Примеры задач
2 Описание критерия
- 2.1 Асимптотический критерий
3 Свойства критерия Бартелса
4 История
5 Литература
6 См. также
7 Ссылки

Примеры задач

Пример 1. Ряд значений состоит из подсчитанного на протяжении нескольких лет количества туристов, посещавших страну в течение года. Требуется установить, являются ли число туристов, случайным, или оно подчиняется какой-то закономерности.

Описание критерия

Заданы выборка $x^n = (x_1,\ldots,x_n),x_i \in \mathbb{R}$ .

Нулевая гипотеза $H_0:\;$ выборка $x^n$ простая, то есть все наблюдения $x_i$ — независимы и одинаково распределены.

Статистика критерия:

Построить вариационный ряд выборки $x^{(1)} \leq \dots \leq x^{(n)}$ и найти ранги $r(x_i)$ всех элементов.
Статистика критерия Бартелса вычисляется по формуле:

$B = \frac{ \sum_{i = 1}^n (r(x_i) - r(x_{i + 1}) )^2 }{ \sum(R_i - \frac{n + 1}{2})^2}$

Варианты критерия (при уровне значимости $\alpha$ ):

двусторонний критерий (против альтернативы, что данные не случайны)

если $B \in \left[ B_{n,\alpha/2},\, B_{n,1-\alpha/2} \right]$ , то нулевая гипотеза отвергается;

левосторонний критерий(против альтернативы, что наблюдения положительно коррелированы)

если $B < B_{n,\alpha}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

правосторонний критерий(против альтернативы, что наблюдения отрицательно коррелированы)

если $B > B_{n,1 -\alpha}$ , то нулевая гипотеза отвергается;

Здесь $B_{n,\alpha}$ -- это $\alpha$ -квантиль табличного распределения статистики Бартелса с параметром $n$ .

Асимптотический критерий

Распределение статистики Бартелса асимптотически нормально с матожиданием $\mathbb{E}B = 2$ и дисперсией

$\mathbb{D}B = \frac{4(n - 2)(5n^2 - 2n - 9)}{5n(n + 1)(n - 1)^2}$

Поэтому при $n \ge 20$ используется нормированная статистика Бартелса

$B' = \frac{B - \mathbb{E}B}{\sqrt{\mathbb{D}B} }$

Свойства критерия Бартелса

Бартелс с помошью численного моделирования показал, что во многих случаях критерий Бартелса имеет большую мощность, чем критерий серий.

История

Критерий был предложен Бартелсом в 1982 году.

Литература

Gibbons J. D., Chakraborti S. Nonparametric Statistical Inference, 4th Ed. — CRC, 2003 — 608 с.
Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.

См. также

Проверка статистических гипотез — о методологии проверки статистических гипотез.
Статистика (функция выборки)
Критерий серий — другой критерий для проверки случайности ряда наблюдений

Ссылки

Данная статья была создана в рамках учебного задания.

Студент: Участник:Slimper

Преподаватель: Участник:Vokov

Срок: 08 января 2010

В настоящее время задание завершено и проверено. Данная страница может свободно правиться другими участниками проекта MachineLearning.ru.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.

Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%91%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%81%D0%B0»

Категория: Статистические тесты

@@ Строка 15: / Строка 15: @@
 '''Статистика критерия:'''
-# Построить [[вариационный ряд]] выборки <tex>x^{(1)}(x_1,\ldots,x_n)</tex> и найти ранги <tex>r(x_i)</tex> всех элементов.
+# Построить [[вариационный ряд]] выборки <tex>x^{(1)} \leq \dots \leq x^{(n)}</tex> и найти ранги <tex>r(x_i)</tex> всех элементов.
 # Статистика критерия Бартелса вычисляется по формуле:
 ::<tex>B = \frac{ \sum_{i = 1}^n (r(x_i) - r(x_{i + 1}) )^2 }{ \sum(R_i - \frac{n + 1}{2})^2}</tex>
@@ Строка 27: / Строка 27: @@
 ::если <tex> B < B_{n,\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
 * правосторонний критерий(против альтернативы, что наблюдения отрицательно коррелированы)
-::если <tex> B > B_{n,\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
+::если <tex> B > B_{n,1 -\alpha} </tex>, то нулевая гипотеза отвергается;
 Здесь <tex> B_{n,\alpha} </tex> -- это <tex>\alpha</tex>-[[квантиль]] табличного распределения  статистики Бартелса с параметром <tex>n</tex>.
@@ Строка 41: / Строка 41: @@
 == Свойства критерия Бартелса==
-Бартелс с помошью численного моделирования показал , что во многих случаях критерий Бартелса имеет большую мощность, чем [[Критерий Вальда-Вольфовица|критерий серий]].
+Бартелс с помошью численного моделирования показал, что во многих случаях критерий Бартелса имеет большую мощность, чем [[Критерий Вальда-Вольфовица|критерий серий]].
 == История ==
@@ Строка 59: / Строка 59: @@
 [[Категория:Статистические тесты]]
-[[Категория:Непараметрические статистические тесты]]
+{{ЗаданиеВыполнено|Slimper|Vokov|08 января 2010}}
-{{Задание|Slimper|Vokov|08 января 2010}}