Критерий Бартелса

Материал из MachineLearning.

Перейти к: навигация, поиск

Критерий Бартелса (Bartels test) — непараметрический статистический критерий, используемый для проверки случайности последовательности наблюдаемых значений. Критерий является ранговым, поэтому он инвариантен по отношению к любому монотонному преобразованию шкалы измерения. Критерий Бартелса можно применять для анализа регрессионных остатков. Также его можно применять при анализе временных рядов для выявления тренда.

Содержание

Примеры задач

Пример 1. Ряд значений состоит из подсчитанного на протяжении нескольких лет количества туристов, посещавших страну в течение года. Требуется установить, являются ли число туристов, случайным, или оно подчиняется какой-то закономерности.

Описание критерия

Заданы выборка x^n = (x_1,\ldots,x_n),x_i \in \mathbb{R}.

Нулевая гипотеза H_0:\; выборка x^n простая, то есть все наблюдения x_i — независимы и одинаково распределены.

Статистика критерия:

  1. Построить вариационный ряд выборки x^{(1)} \leq \dots \leq x^{(n)} и найти ранги r(x_i) всех элементов.
  2. Статистика критерия Бартелса вычисляется по формуле:
B = \frac{ \sum_{i = 1}^n (r(x_i) - r(x_{i + 1}) )^2 }{ \sum(R_i - \frac{n + 1}{2})^2}

Варианты критерия (при уровне значимости \alpha):

  • двусторонний критерий (против альтернативы, что данные не случайны)
если B \in \left[ B_{n,\alpha/2},\, B_{n,1-\alpha/2} \right] , то нулевая гипотеза отвергается;
  • левосторонний критерий(против альтернативы, что наблюдения положительно коррелированы)
если B < B_{n,\alpha} , то нулевая гипотеза отвергается;
  • правосторонний критерий(против альтернативы, что наблюдения отрицательно коррелированы)
если B > B_{n,1 -\alpha} , то нулевая гипотеза отвергается;

Здесь B_{n,\alpha} -- это \alpha-квантиль табличного распределения статистики Бартелса с параметром n.

Асимптотический критерий

Распределение статистики Бартелса асимптотически нормально с матожиданием \mathbb{E}B = 2 и дисперсией

\mathbb{D}B = \frac{4(n - 2)(5n^2 - 2n - 9)}{5n(n + 1)(n - 1)^2}

Поэтому при n \ge 20 используется нормированная статистика Бартелса

B' = \frac{B - \mathbb{E}B}{\sqrt{\mathbb{D}B} }

Свойства критерия Бартелса

Бартелс с помошью численного моделирования показал, что во многих случаях критерий Бартелса имеет большую мощность, чем критерий серий.

История

Критерий был предложен Бартелсом в 1982 году.

Литература

  1. Gibbons J. D., Chakraborti S. Nonparametric Statistical Inference, 4th Ed. — CRC, 2003 — 608 с.
  2. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006. — 816 с.

См. также

Ссылки

Данная статья была создана в рамках учебного задания.
Студент: Участник:Slimper
Преподаватель: Участник:Vokov
Срок: 08 января 2010


В настоящее время задание завершено и проверено. Данная страница может свободно правиться другими участниками проекта MachineLearning.ru.

См. также методические указания по использованию Ресурса MachineLearning.ru в учебном процессе.


Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%9A%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%B8%D0%B9_%D0%91%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%81%D0%B0»
Личные инструменты