Статистический анализ данных (курс лекций, К.В.Воронцов)

Материал из MachineLearning.

Версия 21:40, 13 февраля 2013

Курс знакомит студентов с основными задачами и методами прикладной статистики.

Цели курса — связать теорию и практику, научить студентов «видеть» статистические задачи в различных предметных областях и правильно применять методы прикладной статистики, показать на практических примерах возможности и ограничения статистических методов. Курс имеет скорее методологическую, чем математическую направленность и не содержит доказательств теорем.

Каждый метод описывается по единой схеме:

• постановка задачи;
• примеры прикладных задач из области экономики, социологии, производства, медицины;
• базовые предположения и границы применимости;
• описание метода (для методов проверки статистических гипотез: нулевая гипотеза и альтернативы, статистика, её функция распределения с эскизом графика, критическая область);
• достоинства, недостатки, ограничения, «подводные камни»;
• сравнение с другими методами.

Курс читается студентам 5 курса кафедры Математические методы прогнозирования ВМиК МГУ, начиная с 2007 года. Предполагается, что студенты уже прослушали курсы теории вероятностей и математической статистики, знакомы с элементами дискриминантного, факторного и кластерного анализа (по кафедральному курсу «Математические методы распознавания образов»), регрессионного анализа и анализа временных рядов (по кафедральному курсу ММП).

Программа курса

Введение

Обзор необходимых сведений из теории вероятностей и математической статистики.

• Понятия простой выборки и статистики. Примеры статистик: моменты, асимметрия и эксцесс, вариационный ряд и порядковые статистики, эмпирическое распределение.
• Свойства критериев: несмещённость, состоятельность, равномерная мощность.
• Статистические точечные оценки и их свойства: несмещённость, состоятельность, оптимальность, робастность.
• Интервальные оценки, понятия доверительного интервала и коэффициента доверия.
• Часто используемые распределения: нормальное, Фишера, Стьюдента, хи-квадрат, Бернулли, биномиальное, гипергеометрическое.
• Проверка статистических гипотез, основные понятия: уровень значимости, пи-величина (p-value), критическая область, критическая функция, ошибки I и II рода. Односторонние и двусторонние критические области.

Материалы занятия

Параметрическая проверка гипотез

• Нормальные параметрические критерии для проверки гипотез: гипотезы о положении, гипотезы о рассеивании [Лапач, §3.2]. Примеры прикладных задач из областей медицины, агрономии, маркетинга.
• Систематизация критериев.
• Гипотеза о равенстве средних: критерий Стьюдента для одной и двух выборок, связанные выборки, гипотеза сдвига, метод множественных сравнений Шеффе, метод LSD. Пример: задача формирования ценовых коридоров.
• Гипотеза о равенстве дисперсий: критерий Фишера, критерий Кокрена, критерий Бартлета.
• Критерии нормальности: Критерий Шапиро-Уилка, критерий Колмогорова-Смирнова, критерий омега-квадрат фон Мизеса, критерий хи-квадрат (Пирсона). Исторический пример: проверка закона Менделя А.Н.Колмогоровым [Тюрин, 306]. Упрощённые проверки нормальности по асимметрии и эксцессу. Эмпирические подтверждения ненормальности реальных измерений [Орлов, стр. 71–77].
• Гипотезы о значениях параметра биномиального распределения: сравнение значения параметра с заданным, сравнение двух значений параметра.

Материалы семинара по теме

Непараметрическая проверка гипотез

• Непараметрические ранговые критерии для проверки гипотез: Критерий Уилкоксона-Манна-Уитни, гипотезы о положении, гипотезы о рассеивании [Лапач, §3.3].
• Элементы теории измерений: номинальные, порядковые и количественные переменные; инварианты. Разновидности средних: по Коши, по Колмогорову, мода, медиана. Среднее в порядковой шкале [Орлов, гл. 3]. Пример: маркетинговое исследование привлекательности продуктов (образовательных услуг); важность постановки вопросов при формировании анкет [Орлов, 229].
• Вариационный ряд, ранги и связки.
• Ранговые критерии: критерий Уилкоксона-Манна-Уитни, критерий знаков, критерий Уилкоксона двухвыборочный, критерий Уилкоксона для связных выборок, критерий Краскела-Уоллиса, критерий Зигеля-Тьюки, медианный критерий: одновыборочный и двухвыборочный.
• Доверительные интервалы для медианы (Уилкоксона-Мозеса) и сдвига (Уилкоксона-Тьюки).
• Множественные сравнения на основе рангов Фридмана.

Материалы семинара по теме

Анализ таблиц сопряженности (кросстабуляции)

[Лапач, 204, 316, Лагутин, Т2:174].

• Критерий согласия Пирсона: простая гипотеза, сложная гипотеза.
• Таблица сопряженности: K×L и 2×2.
• Парадокс хи-квадрат [Лагутин, Т2:84].
• Точный тест Фишера.
• Понятие закономерности в алгоритмах классификации, статистические и логические закономерности. Примеры: посещаемость сайтов пользователями Интернет, анализ результатов голосования, маркетинговые исследования.

Материалы семинара по теме

Последовательный анализ Вальда

[Вальд]

• Применение в задачах проверки гипотез о значениях параметра биномиального распределения: сравнение значения с заданным, сравнение двух значений.
• Применение в задачах проверки гипотез о значениях параметров нормального распределения: сравнение значения среднего с заданными (симметричный и несимметричный варианты), сравнение значения дисперсии с заданным.

Конспект лекции

Дисперсионный анализ (ANOVA)

[Лапач, 193].

• Модели факторного эксперимента. Примеры: факторы, влияющие на успешность решения математических задач; факторы, влияющие на объёмы продаж.
• Однофакторная параметрическая модель: метод Шеффе.
• Однофакторная непараметрическая модель: критерий Краскела-Уоллиса, критерий Джонкхиера.
• Общий случай модели с постоянными факторами, теорема Кокрена.
• Двухфакторная непараметрическая модель: критерий Фридмана [Лапач, 203], критерий Пейджа. Примеры: сравнение эффективности методов производства, агротехнических приёмов.
• Двухфакторный нормальный анализ.

Материалы семинара по теме

Корреляционный анализ

[Лапач, 174].

• Корреляция Пирсона, значимость коэффициента корреляции (критерий Стьюдента).
• Частная корреляция, значимость коэффициента частной корреляции.
• Множественная корреляция, значимость коэффициента множественной корреляции.
• Ранговая корреляция, коэффициент корреляции Спирмена, коэффициент корреляции Кенделла.
• Конкордация Кенделла.

Материалы семинара по теме

Линейный регрессионный анализ

[Дрейпер]

• Многомерная линейная регрессия. Примеры прикладных задач. Метод наименьших квадратов.
• МНК-решение и его запись через сингулярное разложение. Остаточная сумма квадратов (RSS).
• Основные предположения многомерной линейной регрессии. Статистические свойства МНК-оценок без предположения нормальности.
• Статистические свойства МНК-оценок при предположении нормальности. Доверительные интервалы для дисперсии шума, коэффициентов регрессии, прогнозного значения отклика.

Анализ регрессионных моделей

• Анализ структуры линейной регрессионной модели. Значимость коэффициентов линейной регрессии (проверка равенства коэффициентов нулю), вложенные модели линейной регрессии, критерий Фишера. Шаговая регрессия.
• Проверка адекватности модели. Выборочный коэффициент детерминации. Дисперсия остатков.
• Проблема мультиколлинеарности. Методы понижения размерности: ридж-регрессия, лассо Тибширани. Выбор параметра регуляризации.

Анализ регрессионных остатков

• Анализ регрессионных остатков: визуальный анализ.
• Непараметрические тесты: критерий Уилкоксона-Манна-Уитни, критерий Зигеля-Тьюки, критерий знаков, критерий серий, критерий экстремумов.
• Проверка нормальности остатков: Критерий Шапиро-Уилка, критерий Колмогорова-Смирнова, критерий омега-квадрат фон Мизеса, критерий хи-квадрат Пирсона, критерии асимметрии и эксцесса.
• Тест на корреляцию остатков, статистика Дарбина-Уотсона.

Материалы семинаров по темам: часть 1, часть 2.

Непараметрическая регрессия

• Непараметрическая регрессия: ядерное сглаживание, формула Надарая-Ватсона. Разложение ошибки на вариацию и смещение. Выбор ядра и ширины окна. Окна переменной ширины. Доверительный интервал прогнозного значения отклика. Проблема выбросов, Алгоритм LOWESS.
• Совмещение многомерной линейной регрессии и одномерного сглаживания: метод настройки с возвращениями (backfitting).
• Примеры прикладных задач: анализ стиля управления инвестиционным портфелем, анализ деятельности паевых инвестиционных фондов.
• Регуляризация коэффициентов регрессии, медленно изменяющихся во времени.

Логистическая регрессия

[Hosmer]

• Постановка задачи логистической регрессии. Логит, его интерпретация. Интерпретация коэффициентов логистической регрессии.
• Анализ модели логистической регрессии: оценка значимости коэффициентов, проверка адекватности модели, анализ остатков, признаки мультиколлинеарности.
• Классификация на основе логистической регрессии: чувствительность, специфичность, выбор порога.

Материалы семинара по логистической регрессии

Анализ временных рядов

[Лукашин]

• Временной ряд. Примеры: прогнозирование объёмов грузоперевозок, объёмов продаж, спроса и цен на электроэнергию.
• Основные компоненты эконометрических временных рядов: тренд, сезонность, календарные эффекты. Аддитивная модель временного ряда. Постановка линейной регрессионной задачи и МНК. Регуляризация сезонного профиля на временных рядах с малым числом периодов.
• Статистические тесты для проверки гипотезы тренда: критерий Аббе-Линника, критерий Кокса-Стюарта, критерий Фостера-Стюарта.
• Автокорреляционная функция. Коррелограмма и её интерпретация. Проверка гипотезы о равенстве нулю автокорреляции.

Материалы семинара по теме

Адаптивные методы прогнозирования

[Лукашин]

• Модель Брауна — экспоненциальное сглаживание.
• Модель Хольта — линейный тренд без сезонности.
• Модель Хольта-Уинтерса — мультипликативный тренд и сезонность.
• Модель Тейла-Вейджа — аддитивный тренд и сезонность.
• Анализ адекватности адаптивных моделей, скользящий контрольный сигнал.
• Адаптация параметров адаптации. Модель Тригга-Лича.
• Обнаружение структурных изменений. Критерий Чоу.
• Адаптивная селекция моделей прогнозирования.
• Адаптивная композиция моделей прогнозирования.

Анализ выживаемости

• Анализ выживаемости. Функция выживаемости и функция интенсивности рисков. Процедура Каплана-Мейера. Доверительный интервал выживаемости.
• Сравнение двух функций выживаемости: логранговый критерий, критерий Гехана.

Анализ панельных данных

[Магнус]

• Примеры эконометрических задач: анализ стран, фирм, домашних хозяйств, телезрителей.
• Объединённая модель панельных данных.
• Модель панельных данных с фиксированными эффектами.
• Модель панельных данных со случайными эффектами.
• Модель панельных данных с временны́ми эффектами.
• Модель несвязанных регрессий.
• Проблема выбора модели: F-тест Фишера, критерий множителей Лагранжа, критерий Хаусмана.
• Ротационная панель.

Множественная проверка гипотез

• Множественная проверка гипотез. Примеры задач. Меры числа ошибок первого рода.
• FWER, поправка Бонферрони.
• Нисходящие процедуры множественной проверки: общий вид, метод Холма.
• Процедуры множественной проверки гипотез при наличии дополнительной информации о признаках: независимость, положительная регрессионная зависимость, subset pivotality.
• FDR, методы Бенджамини, двухэтапные модификации.

Материалы семинара по теме

Литература

1. Лапач С. Н. , Чубенко А. В., Бабич П. Н. Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002.
2. Лагутин М. Б. Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003.
3. Лукашин Ю. П. Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. — М.: Финансы и статистика, 2003.
4. Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. Начальный курс: Учеб. — 7-е изд., испр. — М.: Дело, 2005.
5. Кобзарь А. И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006.
6. Орлов А. И. Эконометрика. — М.: Экзамен, 2003.
7. Айвазян С. А., Мхитарян В. С. Прикладная статистика. Том 1. Теория вероятностей и прикладная статистика. — М.: Юнити, 2001.
8. Айвазян С. А. Прикладная статистика. Том 2. Основы эконометрики. — М.: Юнити, 2001.
9. Тюрин Ю. Н., Макаров А. А. Анализ данных на компьютере. — М.: Инфра-М, 2003.
10. Вучков И., Бояджиева А., Солаков Е. Прикладной линейный регрессионный анализ. — М.: Финансы и статистика, 1987.
11. Hastie, T., Tibshirani, R., Friedman, J. The Elements of Statistical Learning, 2nd edition. — Springer, 2009. — 533 p.  (подробнее)
12. Дрейпер Н. Р., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. М.: Издательский дом "Вильямс", 2007.
13. Hosmer D. W., Lemeshow S. Applied Logistic Regression. - New York: John Wiley & Sons, 2000.
14. Вальд А. Последовательный анализ. - М.: Физматлит, 1960.

Ссылки

• Википедия: Проверка статистических гипотез
• Википедия: Статистический критерий
• Статистический Портал StatSoft
• Электронный статистический словарь StatSoft