Применение сплайнов для численного интегрирования

Материал из MachineLearning.

Версия от 15:11, 16 октября 2008; Александр Двойнев (Обсуждение | вклад)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

1 Введение
2 Изложение метода
3 Анализ метода и ошибок
4 Числовой пример
5 Рекомендации программисту
6 Заключение
7 Ссылки
8 Список литературы

Введение

Ставится задача вычислить интеграл вида

(1)

$J=\int_a^bf(t)dt,$

где $a$ и $b$ - нижний и верхний пределы интегрирования; $f(t)$ - непрерывная функция на отрезке $[a,b]$ .

Введем на отрезке интегрирования равномерную сетку, определим значения функции в узлах сетки. Пусть имеется совокупность узлов $\left\{{t_i}\right\}_{i = 0}^{N},\; t_i = a + i{\tau},\; {\tau}= (b - a)/{N}, \;t \in \left[{a, b}\right].$ Пусть также задана таблица $f_i = \left\{{f(t_i)}\right\}_{i = 0}^{N}.$ Представим интеграл (1) в виде суммы интегралов по частичным отрезкам:

(2)

$\int_a^bf(t)dt=\sum_{i=1}^N\;\int_{t_{i-1}}^{t_i}f(t)dt.$

Сущность большинства методов вычисления определенных интегралов состоит в замене подынтегральной функции $f(t)$ на отрезке $[t_{i-1},\;t_i]$ аппроксимирующей функцией $\varphi(t)$ , для которой можно легко записать первообразную в элементарных функциях, т.е.

(3)

$\int_{t_{i-1}}^{t_i}f(t)dt=\int_{t_{i-1}}^{t_i}\varphi(t)dt+R=S+R,$

где S - приближеное значение интеграла; R - погрешность вычисления интеграла. Лучше всего изучена замена $f(t)$ алгебраическим многочленом.

Изложение метода

Возьмем в (3) в качестве аппроксимирующей функции кубический сплайн:

(4)

$\int_a^bf(t)dt \approx \sum_{i=1}^N\;\int_{t_{i-1}}^{t_i}\varphi_i(t)dt,$ где

$\varphi_i(t) = a_i+b_i(t-t_{i-1})+c_i(t - t_{i-1})^2 + d_i(t - t_{i-1})^3, \; t \in [t_{i-1},\;t_i].$

Коэффициенты вычисляются по следующим формулам:

(5)

$a_i=f_{i-1}$

$b_i=\frac{f_i-f_{i-1}}{\tau}\;-\;\frac{\tau(2c_i+c_{i+1})}{3}$

$c_{i-1}+4c_i+c_{i+1}=3\left(\frac{f_i-2f_{i-1}+f_{i-2}}{\tau^2}\right); \;\;c_1=0$

$d_i=\frac{c_{i+1}-c_i}{3\tau}$

Тогда интеграл (4) запишется как сумма интегралов от сплайнов:

$J=\int_a^bf(t)dt \approx \sum_{i=1}^N\;\int_{t_{i-1}}^{t_i}\varphi_i(t)dt=\sum_{i=1}^N\left(a_i\tau+{b_i\over2}\tau^2+{c_i\over3}\tau^3+{d_i\over4}\tau^4\right).$