Статистический анализ данных (курс лекций, К.В.Воронцов)

Материал из MachineLearning.

(Различия между версиями)
Перейти к: навигация, поиск
(ссылки, ссылки, ссылки, ссылки, ссылки...)
м
 
(194 промежуточные версии не показаны)
Строка 6: Строка 6:
Каждый метод описывается по единой схеме:
Каждый метод описывается по единой схеме:
* постановка задачи;
* постановка задачи;
-
* примеры прикладных задач из области экономики, социологии, производства, медицины;
+
* примеры прикладных задач из области биологии, экономики, социологии, производства, медицины;
* базовые предположения и границы применимости;
* базовые предположения и границы применимости;
-
* описание метода (для методов проверки статистических гипотез: нулевая гипотеза и альтернативы, статистика, её функция распределения с эскизом графика, критическая область);
+
* описание метода (для методов проверки статистических гипотез: нулевая гипотеза и альтернативы, статистика, её нулевое распределение);
* достоинства, недостатки, ограничения, «подводные камни»;
* достоинства, недостатки, ограничения, «подводные камни»;
* сравнение с другими методами.
* сравнение с другими методами.
-
Курс читается студентам 5 курса кафедры [[Математические методы прогнозирования (кафедра ВМиК МГУ)|Математические методы прогнозирования ВМиК МГУ]], начиная с 2007 года. Предполагается, что студенты уже прослушали курсы теории вероятностей и математической статистики, знакомы с элементами дискриминантного, факторного и кластерного анализа (по кафедральному курсу [[Машинное обучение (курс лекций, К.В.Воронцов)|«Математические методы распознавания образов»]]), регрессионного анализа и анализа временных рядов (по кафедральному курсу ММП).
+
Курс читается студентам 4&nbsp;курса кафедры [[Математические методы прогнозирования (кафедра ВМиК МГУ)|математических методов прогнозирования ВМиК МГУ]] с 2007 года и студентам 4&nbsp;курса [[Факультет управления и прикладной математики МФТИ|факультета управления и прикладной математики МФТИ]] с 2011 года. Предполагается, что студенты уже прослушали курсы теории вероятностей и математической статистики<!---, знакомы с элементами дискриминантного, факторного и кластерного анализа (по кафедральному курсу [[Машинное обучение (курс лекций, К.В.Воронцов)|«Математические методы распознавания образов»]]), регрессионного анализа и анализа временных рядов (по кафедральному курсу ММП)--->.
== Программа курса ==
== Программа курса ==
-
 
=== Введение ===
=== Введение ===
Обзор необходимых сведений из теории вероятностей и математической статистики.
Обзор необходимых сведений из теории вероятностей и математической статистики.
-
* Понятия простой выборки и статистики. Примеры статистик: [[момент]]ы, [[асимметрия]] и [[эксцесс]], [[вариационный ряд]], [[эмпирическое распределение]].
+
* Понятия [[Простая выборка|простой выборки]] и [[статистика (функция выборки)|статистики]]. Примеры статистик: [[момент]]ы, [[асимметрия]] и [[эксцесс]], [[вариационный ряд]] и порядковые статистики, [[эмпирическое распределение]].
-
* [[Проверка статистических гипотез]], понятия [[критическая область|критической области]], [[критическая функция|критической функции]], ошибок I и II рода. Односторонние и двусторонние критерии.
+
* Статистические [[точечная оценка|точечные оценки]] и их свойства: [[несмещённость]], [[состоятельность]], [[оптимальность]], [[робастность]].
-
* Свойства критериев: несмещённость, состоятельность, равномерная мощность.
+
* [[Интервальная оценка|Интервальные оценки]], понятия [[Доверительный интервал|доверительного интервала]] и [[Коэффициент доверия|уровня доверия]]. Доверительные интервалы для среднего и медианы.
-
* Статистические [[точечная оценка|точечные оценки]] и их свойства: [[несмещённость]], [[состоятельность]], [[эффективность]], [[достаточность]], [[робастность]].
+
* Часто используемые распределения: нормальное, хи-квадрат, Фишера, Стьюдента, Бернулли, биномиальное, Пуассона.
-
* [[Интервальная оценка|Интервальные оценки]], понятия [[Доверительный интервал|доверительного интервала]] и [[Коэффициент доверия|коэффициента доверия]]. Доверительное оценивание по вариационному ряду. Доверительные интервалы для среднего и медианы [Лапач, 104].
+
* [[Проверка статистических гипотез]], основные понятия: [[уровень значимости]], [[достигаемый уровень значимости]] (p-value), ошибки I и II рода. Односторонние и двусторонние альтернативы.
-
* Метод доверительных интервалов Неймана.
+
* Свойства достигаемых уровней значимости. Статистическая и практическая значимость.
-
* Понятия параметрических, непараметрических и робастных методов. Структура прикладной статистики.
+
* Свойства критериев: [[несмещённость]], [[состоятельность]], [[мощность критерия|мощность]].
 +
 
 +
[[Media:psad_intro.pdf‎‎|Материалы занятия]]
=== Параметрическая проверка гипотез ===
=== Параметрическая проверка гипотез ===
-
* [[Нормальные параметрические критерии]] для проверки гипотез: [[гипотезы о положении]], [[гипотезы о рассеивании]] [Лапач, §3.2]. Примеры прикладных задач из областей медицины, агрономии, маркетинга.
+
[Kanji, Кобзарь]
-
* Систематизация критериев.
+
* Критерии нормальности: [[критерий хи-квадрат]] (Пирсона), [[критерий Шапиро-Уилка]], критерии, основанные на различиях между эмпирической и теоретической функциями распределения, [[критерий Колмогорова-Смирнова]] (Лиллиефорса). Упрощённая проверка нормальности по асимметрии и эксцессу: критерий Харке-Бера. <!---Исторический пример: проверка закона Менделя А.Н.Колмогоровым [Тюрин, 306]. Эмпирические подтверждения ненормальности реальных измерений [Орлов, стр. 71–77]. --->
-
* [[Гипотеза о равенстве средних]]: [[критерий Стьюдента]] для одной и двух выборок, связанные выборки, [[метод множественных сравнений Шеффе]], [[метод LSD]]. Пример: задача формирования ценовых коридоров.
+
* [[Нормальные параметрические критерии]] для проверки гипотез: [[гипотезы о положении]], [[гипотезы о рассеивании]].
-
* [[Гипотеза о равенстве дисперсий]]: [[критерий Фишера]], [[критерий Кокрена]], [[критерий Бартлета]].
+
* Гипотезы о средних: t- и z-критерии [[критерий Стьдента|Стьюдента]] для одной и двух выборок, связанные выборки<!---, [[гипотеза сдвига]], [[метод множественных сравнений Шеффе]], [[метод LSD]]. Пример: задача формирования ценовых коридоров. --->
-
* [[Критерии нормальности]]: [[критерий Колмогорова-Смирнова]], [[критерий омега-квадрат]] фон Мизеса, [[критерий хи-квадрат]] (Пирсона). Исторический пример: проверка закона Менделя А.Н.Колмогоровым [Тюрин, 306]. Упрощённые проверки нормальности по асимметрии и эксцессу. Эмпирические подтверждения ненормальности реальных измерений [Орлов, стр. 71–77].
+
* Гипотезы о дисперсиях: критерии хи-квадрат и [[критерий Фишера|Фишера]]<!---, [[критерий Кокрена]], [[критерий Бартлета]]--->.
 +
* Гипотезы о значениях параметра распределения Бернулли: сравнение значения параметра с заданным, сравнение параметров распределений двух выборок (случаи связанных и независимых выборок).
 +
* Доверительный интервал для параметра распределения Бернулли: Вальда, Уилсона. Доверительные интервалы Уилсона для разности параметров двух выборок.
 +
 
 +
[[Media:psad_ht_parametric.pdf|Материалы занятия]]
=== Непараметрическая проверка гипотез ===
=== Непараметрическая проверка гипотез ===
-
* Непараметрические ранговые критерии для проверки гипотез: [[гипотезы о положении]], [[гипотезы о рассеивании]] [Лапач, §3.3].
+
[Bonnini, Wilcox]
-
* Элементы [[теория измерений|теории измерений]]: номинальные, порядковые и количественные переменные; инварианты. Разновидности [[Обобщённое среднее|средних]]: по Коши, по Колмогорову, мода, медиана. Среднее в порядковой шкале [Орлов, гл. 3]. Пример: маркетинговое исследование привлекательности продуктов (образовательных услуг); важность постановки вопросов при формировании анкет [Орлов, 229].
+
* [[Критерии знаков]]: одновыборочный, для связанных выборок.
* [[Вариационный ряд]], ранги и связки.
* [[Вариационный ряд]], ранги и связки.
-
* [[Ранговые критерии]]: [[критерий Уилкоксона-Манна-Уитни]], [[критерий знаков]], [[критерий Уилкоксона двухвыборочный]], [[критерий Уилкоксона для связных выборок]], [[критерий Краскела-Уоллиса]], [[критерий Зигеля-Тьюки]], [[медианный критерий]]: одновыборочный и двухвыборочный.
+
* [[Ранговые критерии]]: [[критерий Уилкоксона-Манна-Уитни]], [[критерий Уилкоксона двухвыборочный]], [[критерий Уилкоксона для связанных выборок]], [[критерий Зигеля-Тьюки]].
 +
* Перестановочные критерии. Проверка гипотез о положении (одновыборочный, для связанных выборок, для независимых выборок), проверка гипотезы о рассеивании.
 +
* Двухвыборочные критерии согласия: Колмогорова-Смирнова, Крамера-фон Мизеса (Андерсона).
 +
<!---
 +
* [[Функция сдвига]] и доверительная лента для неё.
 +
* Элементы [[теория измерений|теории измерений]]: номинальные, порядковые и количественные переменные; инварианты. Разновидности [[Обобщённое среднее|средних]]: по Коши, по Колмогорову, мода, медиана. Среднее в порядковой шкале [Орлов, гл. 3]. Пример: маркетинговое исследование привлекательности продуктов (образовательных услуг); важность постановки вопросов при формировании анкет [Орлов, 229].
* Доверительные интервалы для медианы (Уилкоксона-Мозеса) и сдвига (Уилкоксона-Тьюки).
* Доверительные интервалы для медианы (Уилкоксона-Мозеса) и сдвига (Уилкоксона-Тьюки).
* Множественные сравнения на основе рангов Фридмана.
* Множественные сравнения на основе рангов Фридмана.
 +
, [[WM-критерий]]--->
 +
 +
[[Media:psad_ht_nonparametric.pdf|Материалы занятия]]
 +
 +
=== Множественная проверка гипотез ===
 +
[Bretz, Dickhaus]
 +
* [[Множественная проверка гипотез]]. Примеры задач. Меры числа ошибок первого рода.
 +
* [[FWER]], поправка Бонферрони.
 +
* Нисходящие процедуры множественной проверки: общий вид, метод Холма.
 +
* Процедуры множественной проверки гипотез при наличии дополнительной информации о признаках: независимость, subset pivotality, PRDS.
 +
* Оценка числа верных нулевых гипотез и её применение.
 +
* [[FDR]], восходящие процедуры, методы Бенджамини-Хохберга и Бенджамини-Иекутиели.
 +
 +
[[Media:psad_mht.pdf‎‎|Материалы занятия]]
=== Дисперсионный анализ (ANOVA) ===
=== Дисперсионный анализ (ANOVA) ===
-
[Лапач, 193, Кулаичев, 170].
+
[Tabachnick, Лагутин, Кобзарь]
-
* Модели факторного эксперимента. Примеры: факторы, влияющие на успешность решения математических задач; факторы, влияющие на объёмы продаж.
+
* Однофакторная модель. Независимые выборки: критерии Фишера, [[критерий Краскела-Уоллиса|Краскела-Уоллиса]], [[критерий Джонкхиера|Джонкхиера]]. Связанные выборки: критерии Фишера, [[критерий Фридмана|Фридмана]] и [[критерий Пейджа|Пейджа]]. Предположение сферичности.
-
* [[Однофакторная параметрическая модель]]: метод Шеффе.
+
* Модель со случайным эффектом, разделение дисперсии.
-
* [[Однофакторная непараметрическая модель]]: [[критерий Краскела-Уоллиса]], [[критерий Джонкхиера]].
+
* Модель с фиксированным эффектом, уточнение различий: методы LSD и HSD, критерии [[критерий Неменьи|Неменьи]] и [[критерий Даннета|Даннета]].
-
* Общий случай модели с постоянными факторами, теорема Кокрена.
+
* Проверка гипотезы о равенстве дисперсий: критерии [[критерий Бартлета|Бартлета]] и [[критерий Флайнера-Киллиана|Флайнера-Киллиана]].
-
* [[Двухфакторная непараметрическая модель]]: [[критерий Фридмана]] [Лапач, 203], [[критерий Пейджа]]. Примеры: сравнение эффективности методов производства, агротехнических приёмов.
+
<!---* Общий случай модели с постоянными факторами, теорема Кокрена. --->
-
* [[Двухфакторный нормальный анализ]].
+
* Двухфакторная модель. Взаимодействие факторов, его интерпретация. [[Двухфакторный нормальный анализ]]. Иерархический дизайн.
-
* [[Ковариационный анализ]] (постановка задачи).
+
<!---* [[Ковариационный анализ]] (постановка задачи).--->
-
=== Корреляционный анализ ===
+
[[Media:Psad_anova.pdf‎‎|Материалы занятия]]
-
[Лапач, 174].
+
-
* [[Корреляция]] Пирсона, значимость коэффициента корреляции ([[критерий Стьюдента]]).
+
-
* [[Частная корреляция]].
+
-
* [[Ранговая корреляция]], [[коэффициент корреляции Спирмена]], [[коэффициент корреляции Кенделла]].
+
-
* [[Конкордация Кенделла]].
+
-
=== Анализ таблиц сопряженности (кросстабуляции) ===
+
=== Анализ зависимостей ===
-
[Лапач, 204, 316, Лагутин, Т2:174, Кулаичев, 162].
+
[Agresti, Лагутин].
-
* [[Критерий согласия Пирсона]]: простая гипотеза, сложная гипотеза.
+
* [[Коэффициент корреляции Пирсона|Корреляция Пирсона]]. Значимость коэффициента корреляции: критерий Стьюдента, перестановочный критерий.
-
* [[Таблица сопряженности]]: K×L и 2×2.
+
* [[Ранговая корреляция]]: [[коэффициент корреляции Спирмена]], [[коэффициент корреляции Кенделла]], их значимость. Связь коэффициентов корреляции.
-
* [[Парадокс хи-квадрат]] [Лагутин, Т2:84].
+
* [[Частная корреляция]], значимость коэффициента частной корреляции (критерий Стьюдента).
-
* [[Точный тест Фишера]].
+
* [[Множественная корреляция]], значимость коэффициента множественной корреляции (критерий Фишера).
-
* Понятие [[закономерность|закономерности]] в алгоритмах классификации, статистические и логические закономерности. Примеры: посещаемость сайтов пользователями Интернет, анализ результатов голосования, маркетинговые исследования.
+
* Анализ канонических корреляций. Значимость коэффициентов. Вспомогательные статистики и их интерпретация.
 +
* [[Таблица сопряженности]] <tex>K_1\times K_2</tex>. Проверка гипотезы независимости категориальных величин с помощью критериев хи-квадрат и G-квадрат. Коэффициент V Крамера, коэффициент <tex>\gamma</tex> для порядковых величин.
 +
* [[Таблица сопряженности]] <tex>2\times 2</tex>. Проверка гипотезы независимости бинарных величин с помощью [[Точный тест Фишера|точного критерия Фишера]]. [[Корреляция Мэтьюса]].
 +
* [[Парадокс хи-квадрат]].
 +
<!---* [[Конкордация Кенделла]]. --->
 +
 
 +
[[Media:Psad_corr.pdf‎‎|Материалы занятия]]
 +
 
 +
=== Линейный регрессионный анализ ===
 +
[Wooldridge]
 +
* [[Многомерная линейная регрессия]]. Примеры прикладных задач. [[Метод наименьших квадратов]].
 +
* <!---МНК-решение и его запись через [[сингулярное разложение]].---> Несимметричность решения задачи одномерной регрессии относительно признака и отклика, связь с коэффициентом корреляции. [[Остаточная сумма квадратов]] (RSS). [[Коэффициент детерминации]]
 +
* Предположения Гаусса-Маркова. Статистические свойства МНК-оценок в отсутствие предположения нормальности.
 +
* Факторы, влияющие на дисперсию оценок коэффициентов модели. Мультиколлинеарность.
 +
* Кодирование нечисловых признаков, фиктивные переменные. Dummy- и deviation-кодирование.
 +
* Статистические свойства МНК-оценок при добавлении предположения нормальности. Доверительные интервалы для дисперсии шума, коэффициентов регрессии, прогнозируемого значения отклика<!---, доверительная лента для прогнозируемого значения отклика при всех значениях признака--->.
 +
* Анализ структуры линейной регрессионной модели. [[Значимость коэффициентов линейной регрессии]]: проверка равенства коэффициентов нулю и константе, [[вложенные модели линейной регрессии]], [[критерий Фишера]], запись критерия Фишера через коэффициент детерминации. Связь между критериями Фишера и Стьюдента. [[Пошаговая регрессия]]. Эксперимент Фридмана.
 +
* Сравнение невложенных моделей: приведённый коэффициент детерминации, [[критерий Давидсона-Маккиннона]].
 +
* [[Анализ регрессионных остатков]]: визуальный анализ, проверка гипотез несмещённости, гомоскедастичности ([[критерий Бройша-Пагана]])<!--- или некоррелированности остатков с признаками, их квадратами и попарными интеракциями (критерии Уайта и Вулдриджа), некоррелированности (критерии [[критерий Вальда-Вольфовица|Вальда-Вольфовица]] и [[статистика Дарбина-Уотсона|Дарбина-Уотсона]])--->, нормальности.
 +
* Обработка выбросов, [[расстояние Кука]].
 +
* Метод Бокса-Кокса для преобразования отклика. Доверительный интервал для параметра метода.
 +
* Устойчивая оценка дисперсии Уайта, её модификации.
 +
<!---* Проверка общей линейной гипотезы. --->
 +
 
 +
[[Media:Psad_linreg.pdf|Материалы занятия]]<!---, [[Media:S8.pdf‎‎|часть 2]], [[Media:S9.pdf‎‎|часть 3]], [[Media:reg_example.pdf‎‎|пример решения задачи]].--->
 +
 
 +
=== Обобщения линейной регрессии ===
 +
[Olsson, Hosmer, Cameron]
 +
* Обобщённые линейные модели. Связующая функция. Оценка параметров методом максимального правдоподобия.
 +
* Доверительные интервалы и оценка значимости коэффициентов, критерии Вальда и отношения правдоподобия.
 +
* Меры качества обобщённых линейных моделей: аномальность, информационные критерии.
 +
* Постановка задачи [[Логистическая_регрессия|логистической регрессии]]. Логит, интерпретация коэффициентов логистической регрессии.
 +
* Проверка линейности логита: сглаженные диаграммы рассеяния, дробные полиномы.
 +
* Классификация на основе логистической регрессии: чувствительность, специфичность, выбор порога.
 +
* Регрессия счётного признака. Пуассоновская модель.
 +
* Предположение о равенстве матожидания и дисперсии и его проверка. Отрицательная биномиальная модель. Устойчивая оценка дисперсии коэффициентов.
 +
 
 +
[[Media:Psad_otherreg.pdf‎‎|Материалы занятия]]
 +
<!---
 +
[Hastie]
 +
* Проблема [[Мультиколлинеарность|мультиколлинеарности]]. Методы понижения размерности: [[ридж-регрессия]], [[лассо Тибширани]], [[эластичная сеть]]. Выбор параметра регуляризации.
 +
 
 +
=== Непараметрическая регрессия ===
 +
* [[Непараметрическая регрессия]]: [[ядерное сглаживание]], формула Надарая-Ватсона. Разложение ошибки на [[Вариация и смещение|вариацию и смещение]]. Выбор ядра и ширины окна. Окна переменной ширины. Доверительный интервал прогнозного значения отклика. Проблема выбросов, [[Алгоритм LOWESS]].
 +
* Совмещение многомерной линейной регрессии и одномерного сглаживания: [[backfitting|метод настройки с возвращениями]] (backfitting).
 +
* Примеры прикладных задач: анализ стиля управления инвестиционным портфелем, анализ деятельности паевых инвестиционных фондов.
 +
* Регуляризация коэффициентов регрессии, медленно изменяющихся во времени.
 +
 
 +
[Дрейпер]
 +
* Нелинейная регрессия. Построение совместной доверительной области для параметров модели. Приближённая проверка адекватности модели по чистой ошибке.
=== Анализ рисков. Пробит- и логит-анализ ===
=== Анализ рисков. Пробит- и логит-анализ ===
[Лапач, 387].
[Лапач, 387].
* [[Пробит-анализ]] и [[логит-анализ]]. Приложения в токсикологии, страховании, эконометрике (оценивание спроса). Оценивание апостериорных вероятностей в задачах классификации. [[Анализ кредитных рисков]]: оценивание вероятности дефолта, имитационное моделирование.
* [[Пробит-анализ]] и [[логит-анализ]]. Приложения в токсикологии, страховании, эконометрике (оценивание спроса). Оценивание апостериорных вероятностей в задачах классификации. [[Анализ кредитных рисков]]: оценивание вероятности дефолта, имитационное моделирование.
 +
--->
 +
 +
=== Анализ временных рядов ===
 +
[Hyndman]
 +
* [[Временной ряд]]. Основные компоненты эконометрических временных рядов: [[тренд]], [[сезонность]]. Календарные эффекты.
 +
* Анализ остатков. [[Автокорреляционная функция]]. [[Коррелограмма]] и её интерпретация. Проверка гипотезы о равенстве нулю автокорреляции и группы автокорреляций ([[критерий Льюнга-Бокса]]). Проверка гипотезы стационарности ([[критерий KPSS]]).
 +
* Модели AR, MA, ARMA. [[Частичная автокорреляция]]. Подбор параметров модели по коррелограммам. Переход к ряду разностей, модель ARIMA.
 +
* Сезонные эффекты и модели их учёта: SARMA, SARIMA.
 +
* Учёт дополнительных признаков, модель regARIMA. Схема настройки параметров модели.
 +
* Прогнозирование методами экспоненциального сглаживания. Простое экспоненциальное сглаживание Брауна, методы Хольта и Хольта-Уинтерса. Таксономия моделей ETS.
 +
* Меры качества прогнозов, примеры оценок. Информационные критерии. [[U-коэффициент Тейла]].
 +
* Сравнение качества двух прогнозов. Непараметрические критерии, [[критерий Диболда-Мариано]], его модификация для маленьких выборок.
 +
<!--* Сравнение качества нескольких прогнозов. [[Reality check Уайта]], модификация Романо-Вольфа.-->
 +
* Обнаружение структурных изменений. [[Критерий Чоу]].
 +
* [[Причинность по Грейнджеру]]. [[Критерий Грейнджера]] (для двух рядов, для множества рядов).
 +
* Адаптивная [[Адаптивная селекция моделей прогнозирования|селекция]] и [[Адаптивная композиция моделей прогнозирования|композиция]] моделей прогнозирования. «Forecast combination puzzle». Агрегирующий алгоритм Вовка.
 +
* Прогнозирование иерархических совокупностей рядов.
 +
* Сложные сезонности в моделях экспоненциального сглаживания (TBATS) и авторегрессии.
 +
 +
Материалы занятий: [[Media:Psad_ts_arima.pdf‎‎‎|часть 1]], [[Media:Psad_ts_ets.pdf‎‎|часть 2]].
 +
 +
=== Последовательный анализ ===
 +
[Вальд, Mukhopadhyay]
 +
* Применение в задачах проверки гипотез о значениях параметра биномиального распределения: сравнение значения с заданным, сравнение двух значений.
 +
* Применение в задачах проверки гипотез о значениях параметров нормального распределения: сравнение значения среднего с заданными (симметричный и несимметричный варианты), сравнение значения дисперсии с заданным.
 +
* Последовательные доверительные интервалы для среднего нормальной совокупности с неизвестной дисперсией (двухэтапная, последовательная процедуры). Процедуры для разности средних двух нормальных совокупностей, случаи равных и неравных дисперсий.
 +
* Непараметрические последовательные доверительные интервалы для среднего и медианы.
 +
 +
[[Media:Psad_seq.pdf‎‎|Материалы занятия]]
 +
 +
=== Анализ причинно-следственных связей ===
 +
[Pearl]
 +
* Неразрешимость парадокса Симпсона в рамках классической статистики.
 +
* Причинные графы, цепочки, вилки, коллайдеры. D-разделимость.
 +
* Интервенции. Оценка эффекта по обзервационным данным. Хирургия графа и формула корректировки (adjustment formula).
 +
* Правило причинного эффекта. Варианты для отсутствия родителей: правило задней двери, правило передней двери.
 +
* Propensity score, обратное вероятностное взвешивание.
 +
* Графы в линейных моделях. Связь со структурными уравнениями.
 +
 +
<!---
 +
=== Анализ панельных данных ===
 +
[Batalgi]
 +
* Примеры эконометрических задач: анализ стран, фирм, домашних хозяйств, телезрителей.
 +
* Объединённая регрессионная модель панельных данных.
 +
* Модели с переменным свободным членом: одно- и двухкомпонентная ошибка. Фиксированные и случайные эффекты.
 +
* Модели с переменными угловыми коэффициентами. Полная статическая модель, проверка возможности её упрощения.
 +
---><!--- * [[Модель панельных данных с фиксированными эффектами]].
 +
* [[Модель панельных данных со случайными эффектами]].
 +
* [[Модель панельных данных с временны́ми эффектами]].
 +
* [[Модель несвязанных регрессий]].
 +
* Проблема выбора модели: F-тест Фишера, [[критерий множителей Лагранжа]], [[критерий Хаусмана]].
 +
* [[Ротационная панель]].---><!---
 +
 +
[[Media:Psad_panel.pdf‎‎|Материалы занятия]]
 +
 +
=== Анализ выживаемости ===
* [[Анализ выживаемости]]. [[Функция выживаемости]] и [[функция интенсивности рисков]]. [[Процедура Каплана-Мейера]]. Доверительный интервал выживаемости.
* [[Анализ выживаемости]]. [[Функция выживаемости]] и [[функция интенсивности рисков]]. [[Процедура Каплана-Мейера]]. Доверительный интервал выживаемости.
* Сравнение двух функций выживаемости: [[логранговый критерий]], [[критерий Гехана]].
* Сравнение двух функций выживаемости: [[логранговый критерий]], [[критерий Гехана]].
-
* [[Случайные блуждания]], [[задача о разорении игрока]].
 
=== Выборочный анализ ===
=== Выборочный анализ ===
-
* [[Простой случайный выбор]]. Приложения в социологии, маркетинге [Лапач, 312, Орлов].
+
* Задачи [[Выборочный анализ|выборочного анализа]]. [[Простой случайный выбор]]. Приложения в социологии, маркетинге [Лапач, 312, Орлов].
* [[Пропорциональный выбор]] и преимущества [[стратификация|стратификации]]. Оценки достаточной длины выборки [Лапач, 361]. Другие методы выбора: квотированный, кластерный, многоступенчатый кластерный.
* [[Пропорциональный выбор]] и преимущества [[стратификация|стратификации]]. Оценки достаточной длины выборки [Лапач, 361]. Другие методы выбора: квотированный, кластерный, многоступенчатый кластерный.
* [[Выборочный контроль качества]] [Лапач, 351]. Одноступенчатый и двухступенчатый [[план контроля]]. Оперативная характеристика плана контроля. Парадоксы выборочного контроля.
* [[Выборочный контроль качества]] [Лапач, 351]. Одноступенчатый и двухступенчатый [[план контроля]]. Оперативная характеристика плана контроля. Парадоксы выборочного контроля.
-
=== Регрессионный анализ ===
+
* Метод доверительных интервалов Неймана.
-
* [[Многомерная линейная регрессия]]. [[Метод наименьших квадратов]]. Гипотеза нормальности и ее нарушение. [[Гетероскедастичность]]. Обобщённый метод наименьших квадратов [Вучков, Айвазян, том 2].
+
* Понятия параметрических, непараметрических и робастных методов. Структура прикладной статистики.
-
* [[Факторный анализ]] [Айвазян, том 1, 526, 551]: [[метод главных компонент]], геометрическая интерпретация, выбор числа значимых факторов [Кулаичев, 315].
+
-
* Устойчивость регрессионных моделей. [[Мультиколлинеарность]]. [[Ридж-регрессия]]. [[Лассо Тибширани]]. [[Отбор признаков]] и [[шаговая регрессия]] [Friedman]. Проблема выбросов и [[робастная регрессия]]. [[M-оценки]], [[метод наименьших модулей]]. [[L-оценки]], [[винзоризация выборки]] [Вучков].
+
-
=== Оценивание регрессионных моделей ===
+
* [[Случайные блуждания]], [[задача о разорении игрока]].
-
* Проверка адекватности модели. [[Выборочный коэффициент детерминации]]. [[Дисперсия остатков]]. [[Вложенные модели]].
+
-
* [[Анализ остатков]]. [[U-критерий]] Уилкоксона-Манна-Уитни, [[критерий Зигеля-Тьюки]], [[критерий Вальда-Вольфовица]]. Пример прикладной задачи: анализ деятельности паевых инвестиционных фондов. Введение нелинейности в модель регрессии. Регуляризация коэффициентов регрессии, медленно изменяющихся во времени.
+
-
* [[Непараметрическая регрессия]]: [[ядерное сглаживание]], формула Надарая-Ватсона. Выбор ядра и ширины окна.
+
-
* Совмещение многомерной линейной регрессии и одномерного сглаживания: [[backfitting|метод настройки с возвращениями]] (backfitting).
+
-
* Проверка гипотезы о значимости (не равенства нулю) коэффициентов линейной регрессии.
+
-
* Доверительные интервалы для коэффициентов и отклика.
+
-
=== Анализ временных рядов ===
+
=== Нелинейная, устойчивая регрессия ===
-
* [[Временной ряд]]. [[Стационарность]] и [[эргодичность]].
+
* [[Нелинейная регрессия]]. Методы Ньютона-Раффсона и Ньютона-Гаусса.
-
* Основные компоненты эконометрических временных рядов: [[тренд]], [[сезонность]], [[шум]]ы, [[циклические колебания]], календарные эффекты. Структурные модели временного ряда [Айвазян, том 2, Лукашин].
+
* Проблема выбросов и [[робастная регрессия]]. [[M-оценки]], [[метод наименьших модулей]]. [[L-оценки]], [[винзоризация выборки]] [Вучков].
-
* Прогнозирование временных рядов. Простейшие методы прогнозирования. [[Экспоненциальное сглаживание]], [[модель Брауна]], [[модель Хольта-Уинтерса]], [[модель Тейла-Вейджа]].
+
 
-
* [[ARIMA|Процесс авторегрессии и проинтегрированного скользящего среднего]] (ARIMA) [Лукашин].
+
=== Факторный анализ ===
 +
* [[Факторный анализ]] [Айвазян, том 1, 526, 551]: [[метод главных компонент]], геометрическая интерпретация, выбор числа значимых факторов [Кулаичев, 315].
 +
* Гипотеза нормальности и ее нарушение. [[Гетероскедастичность]]. Обобщённый метод наименьших квадратов [Вучков, Айвазян, том 2].
=== Построение интегральных индикаторов ===
=== Построение интегральных индикаторов ===
* [[Интегральный индикатор]]. Примеры прикладных задач. Линейные и ранговые шкалы. Методы построения интегрального индикатора «без учителя» [Strijov, 2003]. Устойчивые интегральные индикаторы [Стрижов, 2007].
* [[Интегральный индикатор]]. Примеры прикладных задач. Линейные и ранговые шкалы. Методы построения интегрального индикатора «без учителя» [Strijov, 2003]. Устойчивые интегральные индикаторы [Стрижов, 2007].
* [[Экспертные оценки]] [Литвак, Лапач, 353]. [[Матрица парных сравнений]]. [[Экспертно-статистический метод]] [Айвазян, том 2]. [[Согласование экспертных оценок]] [Стрижов, 2006].
* [[Экспертные оценки]] [Литвак, Лапач, 353]. [[Матрица парных сравнений]]. [[Экспертно-статистический метод]] [Айвазян, том 2]. [[Согласование экспертных оценок]] [Стрижов, 2006].
-
 
+
--->
-
=== Панельные исследования ===
+
== Литература ==
== Литература ==
-
#''Лапач С. Н. , Чубенко А. В., Бабич П. Н.'' Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002.
+
# ''Вальд, А.'' Последовательный анализ. — М.: Физматлит, 1960.
-
#''Орлов А. И.'' Эконометрика. — М.: Экзамен, 2003.
+
# ''Лагутин, М.Б.'' Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003.
-
#''Лагутин М. Б.'' Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003.
+
# ''Кобзарь, А.И.'' Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006.
-
#''Кобзарь А. И.'' Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006.
+
# ''Agresti, A.'' Categorical Data Analysis. — Hoboken: John Wiley & Sons, 2013.
-
#''Айвазян С. А., Мхитарян В. С.'' Прикладная статистика. Том 1. Теория вероятностей и прикладная статистика. — М.: Юнити, 2001.
+
# ''Bonnini, S., Corain, L., Marozzi, M., Salmaso S.'' Nonparametric Hypothesis Testing: Rank and Permutation Methods with Applications in R. — Hoboken: John Wiley & Sons, 2014.
-
#''Айвазян С. А.'' Прикладная статистика. Том 2. Основы эконометрики. — М.: Юнити, 2001.
+
# ''Bretz, F., Hothorn, T., Westfall, P.'' Multiple Comparisons Using R. — Boca Raton: Chapman and Hall/CRC, 2010.
-
#''Кулаичев А. П.'' Методы и средства комплексного анализа данных. — М.: Форум–Инфра-М, 2006.
+
# ''Cameron, A.A., Trivedi, P.K.'' Regression Analysis of Count Data. — Cambridge: Cambridge University Press, 2013.
-
#''Тюрин Ю. Н., Макаров А. А.'' Анализ данных на компьютере. — М.: Инфра-М, 2003.
+
# ''Dickhaus, T.'' Simultaneous Statistical Inference With Applications in the Life Sciences. — Heidelberg: Springer, 2014.
-
#''Вучков И., Бояджиева А., Солаков Е.'' Прикладной линейный регрессионный анализ. — М.: Финансы и статистика, 1987.
+
# ''Good, P.'' Permutation, Parametric and Bootstrap Tests of Hypotheses: A Practical Guide to Resampling Methods for Testing Hypotheses. — New York: Springer, 2005.
-
#''Лукашин Ю. П.'' Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. — М.: Финансы и статистика, 2003.
+
# {{Публикация:Hastie 2001 The Elements of Statistical Learning}}
-
#''Friedman R., Hastie T., Tibshirani J.'' The elements of statistical learning. – Springer, 2001.
+
# ''Hosmer, D.W., Lemeshow S., Sturdivant, R.X.'' Applied Logistic Regression. — Hoboken: John Wiley & Sons, 2013.
-
#''Strijov, V., Shakin, V.'' [http://strijov.com/papers/10-v_strijov.pdf Index construction: the expert-statistical method]. // Environmental research, engineering and management 2003. No.4 (26), P.51-55.
+
# ''Hyndman, R.J., Athanasopoulos G.'' Forecasting: principles and practice. — OTexts, 2015. https://www.otexts.org/book/fpp
-
#''Стрижов В. В., Казакова Т. В.'' [http://strijov.com/papers/stable_idx4zavlab_after_recenz.pdf Устойчивые интегральные индикаторы с выбором опорного множества описаний]. // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2007 (7). C. 72-76.
+
# ''Kanji, G.K.'' 100 statistical tests. — London: SAGE Publications, 2006.
-
#''Литвак Б. Г.'' Экспертная информация: Методы получения и анализа. – М.: Радио и связь, 1982. – 184 с.
+
# ''Mukhopadhyay, N., de Silva, B. M.'' Sequential methods and their applications. — Boca Raton: Chapman and Hall/CRC, 2009.
-
#''Стрижов В. В.'' [http://strijov.com/papers/strijov06precise.pdf Уточнение экспертных оценок с помощью измеряемых данных]. // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2006 (7). С.59-64.
+
# ''Olsson, U.'' Generalized Linear Models: An Applied Approach. — Lund: Studentlitteratur, 2004.
 +
# ''Pearl J., Glymour M., Jewell N.P.'' Causal Inference in Statistics: A Primer. — Chichester: John Wiley & Sons, 2016.
 +
# ''Tabachnick, B.G., Fidell, L.S.'' Using Multivariate Statistics. — Boston: Pearson Education, 2012.
 +
# ''Wooldridge, J.'' Introductory Econometrics: A Modern Approach. — Mason: South-Western Cengage Learning, 2013.
 +
<!---
 +
# ''Baltagi, B.H.'' Econometric analysis of panel data. — Chichester: John Wiley & Sons, 2005.
 +
# ''Wilcox, R.R.'' Introduction to Robust Estimation and Hypothesis Testing. — Academic Press, 2012.
 +
# ''Лапач С.Н. , Чубенко А.В., Бабич П.Н.'' Статистика в науке и бизнесе. — Киев: Морион, 2002.
 +
# ''Лукашин, Ю.П.'' Адаптивные методы краткосрочного прогнозирования временных рядов. — М.: Финансы и статистика, 2003.
 +
# ''Магнус, Я.Р., Катышев, П.К., Пересецкий, А.А.'' Эконометрика. Начальный курс: Учеб. — 7-е изд., испр. — М.: Дело, 2005.
 +
# ''Дрейпер, Н.Р., Смит Г.'' Прикладной регрессионный анализ. — М.: Издательский дом "Вильямс", 2007.
 +
# ''Kirchgassner, G., Wolters, J., Hassler, U.'' Introduction to modern time series analysis. — Heidelberg: Springer, 2013.
 +
# ''Shumway, R.H, Stoffer, D.S.'' Time Series Analysis and Its Applications with R Examples. — New York: Springer, 2011.
 +
# ''Hyndman, R.J., Koehler, A.B., Ord, J.K., Snyder, R.D.'' Forecasting with Exponential Smoothing: The State Space Approach. — Berlin: Springer, 2008.
 +
# ''Орлов А. И.'' Эконометрика. — М.: Экзамен, 2003.
 +
# ''Айвазян С. А., Мхитарян В. С.'' Прикладная статистика. Том 1. Теория вероятностей и прикладная статистика. — М.: Юнити, 2001.
 +
# ''Айвазян С. А.'' Прикладная статистика. Том 2. Основы эконометрики. — М.: Юнити, 2001.
 +
# ''Вучков И., Бояджиева А., Солаков Е.'' Прикладной линейный регрессионный анализ. — М.: Финансы и статистика, 1987.
 +
# ''Strijov, V., Shakin, V.'' [http://strijov.com/papers/10-v_strijov.pdf Index construction: the expert-statistical method]. // Environmental research, engineering and management 2003. No.4 (26), P.51-55.
 +
# ''Стрижов В. В., Казакова Т. В.'' [http://strijov.com/papers/stable_idx4zavlab_after_recenz.pdf Устойчивые интегральные индикаторы с выбором опорного множества описаний]. // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2007 (7). C. 72-76.
 +
# ''Литвак Б. Г.'' Экспертная информация: Методы получения и анализа. – М.: Радио и связь, 1982. – 184 с.
 +
# ''Стрижов В. В.'' [http://strijov.com/papers/strijov06precise.pdf Уточнение экспертных оценок с помощью измеряемых данных]. // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 2006 (7). С.59-64.
 +
# ''Тюрин Ю. Н., Макаров А. А.'' Анализ данных на компьютере. — М.: Инфра-М, 2003.
 +
 
 +
== Подстраницы ==
 +
 
 +
--->
[[Категория:Учебные курсы]]
[[Категория:Учебные курсы]]

Текущая версия

Содержание

Курс знакомит студентов с основными задачами и методами прикладной статистики.

Цели курса — связать теорию и практику, научить студентов «видеть» статистические задачи в различных предметных областях и правильно применять методы прикладной статистики, показать на практических примерах возможности и ограничения статистических методов. Курс имеет скорее методологическую, чем математическую направленность и не содержит доказательств теорем.

Каждый метод описывается по единой схеме:

  • постановка задачи;
  • примеры прикладных задач из области биологии, экономики, социологии, производства, медицины;
  • базовые предположения и границы применимости;
  • описание метода (для методов проверки статистических гипотез: нулевая гипотеза и альтернативы, статистика, её нулевое распределение);
  • достоинства, недостатки, ограничения, «подводные камни»;
  • сравнение с другими методами.

Курс читается студентам 4 курса кафедры математических методов прогнозирования ВМиК МГУ с 2007 года и студентам 4 курса факультета управления и прикладной математики МФТИ с 2011 года. Предполагается, что студенты уже прослушали курсы теории вероятностей и математической статистики.

Программа курса

Введение

Обзор необходимых сведений из теории вероятностей и математической статистики.

Материалы занятия

Параметрическая проверка гипотез

[Kanji, Кобзарь]

  • Критерии нормальности: критерий хи-квадрат (Пирсона), критерий Шапиро-Уилка, критерии, основанные на различиях между эмпирической и теоретической функциями распределения, критерий Колмогорова-Смирнова (Лиллиефорса). Упрощённая проверка нормальности по асимметрии и эксцессу: критерий Харке-Бера.
  • Нормальные параметрические критерии для проверки гипотез: гипотезы о положении, гипотезы о рассеивании.
  • Гипотезы о средних: t- и z-критерии Стьюдента для одной и двух выборок, связанные выборки
  • Гипотезы о дисперсиях: критерии хи-квадрат и Фишера.
  • Гипотезы о значениях параметра распределения Бернулли: сравнение значения параметра с заданным, сравнение параметров распределений двух выборок (случаи связанных и независимых выборок).
  • Доверительный интервал для параметра распределения Бернулли: Вальда, Уилсона. Доверительные интервалы Уилсона для разности параметров двух выборок.

Материалы занятия

Непараметрическая проверка гипотез

[Bonnini, Wilcox]

Материалы занятия

Множественная проверка гипотез

[Bretz, Dickhaus]

  • Множественная проверка гипотез. Примеры задач. Меры числа ошибок первого рода.
  • FWER, поправка Бонферрони.
  • Нисходящие процедуры множественной проверки: общий вид, метод Холма.
  • Процедуры множественной проверки гипотез при наличии дополнительной информации о признаках: независимость, subset pivotality, PRDS.
  • Оценка числа верных нулевых гипотез и её применение.
  • FDR, восходящие процедуры, методы Бенджамини-Хохберга и Бенджамини-Иекутиели.

Материалы занятия

Дисперсионный анализ (ANOVA)

[Tabachnick, Лагутин, Кобзарь]

Материалы занятия

Анализ зависимостей

[Agresti, Лагутин].

Материалы занятия

Линейный регрессионный анализ

[Wooldridge]

Материалы занятия

Обобщения линейной регрессии

[Olsson, Hosmer, Cameron]

  • Обобщённые линейные модели. Связующая функция. Оценка параметров методом максимального правдоподобия.
  • Доверительные интервалы и оценка значимости коэффициентов, критерии Вальда и отношения правдоподобия.
  • Меры качества обобщённых линейных моделей: аномальность, информационные критерии.
  • Постановка задачи логистической регрессии. Логит, интерпретация коэффициентов логистической регрессии.
  • Проверка линейности логита: сглаженные диаграммы рассеяния, дробные полиномы.
  • Классификация на основе логистической регрессии: чувствительность, специфичность, выбор порога.
  • Регрессия счётного признака. Пуассоновская модель.
  • Предположение о равенстве матожидания и дисперсии и его проверка. Отрицательная биномиальная модель. Устойчивая оценка дисперсии коэффициентов.

Материалы занятия

Анализ временных рядов

[Hyndman]

  • Временной ряд. Основные компоненты эконометрических временных рядов: тренд, сезонность. Календарные эффекты.
  • Анализ остатков. Автокорреляционная функция. Коррелограмма и её интерпретация. Проверка гипотезы о равенстве нулю автокорреляции и группы автокорреляций (критерий Льюнга-Бокса). Проверка гипотезы стационарности (критерий KPSS).
  • Модели AR, MA, ARMA. Частичная автокорреляция. Подбор параметров модели по коррелограммам. Переход к ряду разностей, модель ARIMA.
  • Сезонные эффекты и модели их учёта: SARMA, SARIMA.
  • Учёт дополнительных признаков, модель regARIMA. Схема настройки параметров модели.
  • Прогнозирование методами экспоненциального сглаживания. Простое экспоненциальное сглаживание Брауна, методы Хольта и Хольта-Уинтерса. Таксономия моделей ETS.
  • Меры качества прогнозов, примеры оценок. Информационные критерии. U-коэффициент Тейла.
  • Сравнение качества двух прогнозов. Непараметрические критерии, критерий Диболда-Мариано, его модификация для маленьких выборок.
  • Обнаружение структурных изменений. Критерий Чоу.
  • Причинность по Грейнджеру. Критерий Грейнджера (для двух рядов, для множества рядов).
  • Адаптивная селекция и композиция моделей прогнозирования. «Forecast combination puzzle». Агрегирующий алгоритм Вовка.
  • Прогнозирование иерархических совокупностей рядов.
  • Сложные сезонности в моделях экспоненциального сглаживания (TBATS) и авторегрессии.

Материалы занятий: часть 1, часть 2.

Последовательный анализ

[Вальд, Mukhopadhyay]

  • Применение в задачах проверки гипотез о значениях параметра биномиального распределения: сравнение значения с заданным, сравнение двух значений.
  • Применение в задачах проверки гипотез о значениях параметров нормального распределения: сравнение значения среднего с заданными (симметричный и несимметричный варианты), сравнение значения дисперсии с заданным.
  • Последовательные доверительные интервалы для среднего нормальной совокупности с неизвестной дисперсией (двухэтапная, последовательная процедуры). Процедуры для разности средних двух нормальных совокупностей, случаи равных и неравных дисперсий.
  • Непараметрические последовательные доверительные интервалы для среднего и медианы.

Материалы занятия

Анализ причинно-следственных связей

[Pearl]

  • Неразрешимость парадокса Симпсона в рамках классической статистики.
  • Причинные графы, цепочки, вилки, коллайдеры. D-разделимость.
  • Интервенции. Оценка эффекта по обзервационным данным. Хирургия графа и формула корректировки (adjustment formula).
  • Правило причинного эффекта. Варианты для отсутствия родителей: правило задней двери, правило передней двери.
  • Propensity score, обратное вероятностное взвешивание.
  • Графы в линейных моделях. Связь со структурными уравнениями.


Литература

  1. Вальд, А. Последовательный анализ. — М.: Физматлит, 1960.
  2. Лагутин, М.Б. Наглядная математическая статистика. В двух томах. — М.: П-центр, 2003.
  3. Кобзарь, А.И. Прикладная математическая статистика. — М.: Физматлит, 2006.
  4. Agresti, A. Categorical Data Analysis. — Hoboken: John Wiley & Sons, 2013.
  5. Bonnini, S., Corain, L., Marozzi, M., Salmaso S. Nonparametric Hypothesis Testing: Rank and Permutation Methods with Applications in R. — Hoboken: John Wiley & Sons, 2014.
  6. Bretz, F., Hothorn, T., Westfall, P. Multiple Comparisons Using R. — Boca Raton: Chapman and Hall/CRC, 2010.
  7. Cameron, A.A., Trivedi, P.K. Regression Analysis of Count Data. — Cambridge: Cambridge University Press, 2013.
  8. Dickhaus, T. Simultaneous Statistical Inference With Applications in the Life Sciences. — Heidelberg: Springer, 2014.
  9. Good, P. Permutation, Parametric and Bootstrap Tests of Hypotheses: A Practical Guide to Resampling Methods for Testing Hypotheses. — New York: Springer, 2005.
  10. Hastie, T., Tibshirani, R., Friedman, J. The Elements of Statistical Learning, 2nd edition. — Springer, 2009. — 533 p.  (подробнее)
  11. Hosmer, D.W., Lemeshow S., Sturdivant, R.X. Applied Logistic Regression. — Hoboken: John Wiley & Sons, 2013.
  12. Hyndman, R.J., Athanasopoulos G. Forecasting: principles and practice. — OTexts, 2015. https://www.otexts.org/book/fpp
  13. Kanji, G.K. 100 statistical tests. — London: SAGE Publications, 2006.
  14. Mukhopadhyay, N., de Silva, B. M. Sequential methods and their applications. — Boca Raton: Chapman and Hall/CRC, 2009.
  15. Olsson, U. Generalized Linear Models: An Applied Approach. — Lund: Studentlitteratur, 2004.
  16. Pearl J., Glymour M., Jewell N.P. Causal Inference in Statistics: A Primer. — Chichester: John Wiley & Sons, 2016.
  17. Tabachnick, B.G., Fidell, L.S. Using Multivariate Statistics. — Boston: Pearson Education, 2012.
  18. Wooldridge, J. Introductory Econometrics: A Modern Approach. — Mason: South-Western Cengage Learning, 2013.
Источник — «http://machinelearning.ru/wiki/index.php?title=%D0%A1%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%B0%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D0%B8%D0%B7_%D0%B4%D0%B0%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D1%85_%28%D0%BA%D1%83%D1%80%D1%81_%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%86%D0%B8%D0%B9%2C_%D0%9A.%D0%92.%D0%92%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%BD%D1%86%D0%BE%D0%B2%29»
Личные инструменты